math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.8% → 99.7%

Time: 11.9s

Alternatives: 22

Speedup: 2.8×

• 50.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -50000:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{2} + {im\_m}^{4} \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot -0.0001984126984126984 - 0.008333333333333333\right)\right) + -1\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -50000.0)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (*
        (sin re)
        (+
         (+
          (* -0.16666666666666666 (pow im_m 2.0))
          (*
           (pow im_m 4.0)
           (- (* (pow im_m 2.0) -0.0001984126984126984) 0.008333333333333333)))
         -1.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -50000.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * (((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 2.0)) + (pow(im_m, 4.0) * ((pow(im_m, 2.0) * -0.0001984126984126984) - 0.008333333333333333))) + -1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-50000.0d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * ((((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 2.0d0)) + ((im_m ** 4.0d0) * (((im_m ** 2.0d0) * (-0.0001984126984126984d0)) - 0.008333333333333333d0))) + (-1.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -50000.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 2.0)) + (Math.pow(im_m, 4.0) * ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.0001984126984126984) - 0.008333333333333333))) + -1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -50000.0:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 2.0)) + (math.pow(im_m, 4.0) * ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.0001984126984126984) - 0.008333333333333333))) + -1.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -50000.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 2.0)) + Float64((im_m ^ 4.0) * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.0001984126984126984) - 0.008333333333333333))) + -1.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -50000.0)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 2.0)) + ((im_m ^ 4.0) * (((im_m ^ 2.0) * -0.0001984126984126984) - 0.008333333333333333))) + -1.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -50000.0], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] - 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -5e4

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -5e4 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 59.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 93.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around inf 93.3%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -50000:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left({im}^{2} \cdot -0.0001984126984126984 - 0.008333333333333333\right)\right) + -1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -50000:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{2} + {im\_m}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) + -1\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -50000.0)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (*
        (sin re)
        (+
         (+
          (* -0.16666666666666666 (pow im_m 2.0))
          (* (pow im_m 4.0) -0.008333333333333333))
         -1.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -50000.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * (((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 2.0)) + (pow(im_m, 4.0) * -0.008333333333333333)) + -1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-50000.0d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * ((((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 2.0d0)) + ((im_m ** 4.0d0) * (-0.008333333333333333d0))) + (-1.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -50000.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 2.0)) + (Math.pow(im_m, 4.0) * -0.008333333333333333)) + -1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -50000.0:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 2.0)) + (math.pow(im_m, 4.0) * -0.008333333333333333)) + -1.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -50000.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 2.0)) + Float64((im_m ^ 4.0) * -0.008333333333333333)) + -1.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -50000.0)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 2.0)) + ((im_m ^ 4.0) * -0.008333333333333333)) + -1.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -50000.0], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -5e4

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -5e4 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 59.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 93.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around inf 93.3%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around 0 91.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}}\right) - 1\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 91.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{{im}^{4} \cdot -0.008333333333333333}\right) - 1\right)\right) \]

   9. Simplified 91.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{{im}^{4} \cdot -0.008333333333333333}\right) - 1\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -50000:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) + -1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.02:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{2}\right) - \sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.02)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (- (* -0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im_m 2.0))) (sin re)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.02) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (sin(re) * pow(im_m, 2.0))) - sin(re));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.02d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (((-0.16666666666666666d0) * (sin(re) * (im_m ** 2.0d0))) - sin(re))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.02) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 2.0))) - Math.sin(re));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.02:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 2.0))) - math.sin(re))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.02)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 2.0))) - sin(re)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.02)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (sin(re) * (im_m ^ 2.0))) - sin(re));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.02], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.0200000000000000004 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 59.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) - \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.02:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.02)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.02) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.02d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.02) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.02:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.02)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.02)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.02], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.0200000000000000004 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 59.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 85.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 85.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 87.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 87.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 87.1%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 87.1%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 87.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 11:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 11.0)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (if (<= im_m 1.1e+44)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 11.0) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.1e+44) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 11.0d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 1.1d+44) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 11.0) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.1e+44) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 11.0:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	elif im_m <= 1.1e+44:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 11.0)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 1.1e+44)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 11.0)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 1.1e+44)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 11.0], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+44], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 11

   1. Initial program 59.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 85.4%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 87.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 11 < im < 1.09999999999999998e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 1.09999999999999998e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 98.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 98.4%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 98.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 98.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 98.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around inf 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right)} \]

      2. pow3 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right)}^{3}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{2}, \mathsf{fma}\left({im}^{4}, \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), -1\right)\right)}\right)}^{3}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 11:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.1 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.5 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im\_m \cdot 0.9916666666666667\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.1e+19)
    (* im_m (- (sin re)))
    (if (<= im_m 4.5e+61)
      (log1p (expm1 (* im_m 0.9916666666666667)))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.1e+19) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 4.5e+61) {
		tmp = log1p(expm1((im_m * 0.9916666666666667)));
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.1e+19) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 4.5e+61) {
		tmp = Math.log1p(Math.expm1((im_m * 0.9916666666666667)));
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.1e+19:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 4.5e+61:
		tmp = math.log1p(math.expm1((im_m * 0.9916666666666667)))
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.1e+19)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 4.5e+61)
		tmp = log1p(expm1(Float64(im_m * 0.9916666666666667)));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.1e+19], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.5e+61], N[Log[1 + N[(Exp[N[(im$95$m * 0.9916666666666667), $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.1e19

   1. Initial program 60.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.1e19 < im < 4.5e61

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 5.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 5.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 5.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.9916666666666667} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. log1p-expm1-u 80.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im \cdot 0.9916666666666667\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 80.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im \cdot 0.9916666666666667\right)\right)} \]

   if 4.5e61 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.1 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im \cdot 0.9916666666666667\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 77.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.1 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.35 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im\_m \cdot 0.9916666666666667\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.8 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.05 \cdot 10^{+253}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.1e+19)
    (* im_m (- (sin re)))
    (if (<= im_m 1.35e+71)
      (log1p (expm1 (* im_m 0.9916666666666667)))
      (if (<= im_m 2.8e+229)
        (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0)))
        (if (<= im_m 1.05e+253)
          (* re (- (* im_m (* (pow re 2.0) 0.16666666666666666)) im_m))
          (* re (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.1e+19) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 1.35e+71) {
		tmp = log1p(expm1((im_m * 0.9916666666666667)));
	} else if (im_m <= 2.8e+229) {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	} else if (im_m <= 1.05e+253) {
		tmp = re * ((im_m * (pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.1e+19) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 1.35e+71) {
		tmp = Math.log1p(Math.expm1((im_m * 0.9916666666666667)));
	} else if (im_m <= 2.8e+229) {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	} else if (im_m <= 1.05e+253) {
		tmp = re * ((im_m * (Math.pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.1e+19:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 1.35e+71:
		tmp = math.log1p(math.expm1((im_m * 0.9916666666666667)))
	elif im_m <= 2.8e+229:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	elif im_m <= 1.05e+253:
		tmp = re * ((im_m * (math.pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m)
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.1e+19)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 1.35e+71)
		tmp = log1p(expm1(Float64(im_m * 0.9916666666666667)));
	elseif (im_m <= 2.8e+229)
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	elseif (im_m <= 1.05e+253)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64((re ^ 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.1e+19], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.35e+71], N[Log[1 + N[(Exp[N[(im$95$m * 0.9916666666666667), $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.8e+229], N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.05e+253], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(N[Power[re, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if im < 3.1e19

   1. Initial program 60.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.1e19 < im < 1.34999999999999998e71

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 18.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 18.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 18.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 18.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 18.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 18.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 32.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 2.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.9916666666666667} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. log1p-expm1-u 57.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im \cdot 0.9916666666666667\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im \cdot 0.9916666666666667\right)\right)} \]

   if 1.34999999999999998e71 < im < 2.8000000000000002e229

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 65.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 50.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]

   if 2.8000000000000002e229 < im < 1.0500000000000001e253

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 5.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 5.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 67.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 67.5%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + -1 \cdot im\right)} \]

      2. neg-mul-1 67.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-im\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 67.5%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]

      4. *-commutative 67.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot 0.16666666666666666} - im\right) \]

      5. associate-*l* 67.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

   8. Simplified 67.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)} \]

   if 1.0500000000000001e253 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot re} \]

      2. *-commutative 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

   9. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 62.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.1 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(im \cdot 0.9916666666666667\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.8 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.05 \cdot 10^{+253}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 92.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.6:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5.6)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.6) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5.6d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.6) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5.6:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.6)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.6)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.6], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.5999999999999996

   1. Initial program 59.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 85.4%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 85.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 87.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 5.5999999999999996 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around inf 87.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt 87.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right)} \]

      2. pow3 87.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right)}^{3}} \]

   8. Applied egg-rr 87.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{2}, \mathsf{fma}\left({im}^{4}, \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), -1\right)\right)}\right)}^{3}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.6:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 92.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 4.0)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 4.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 4.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4

   1. Initial program 59.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 64.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 64.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 64.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 64.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 86.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around inf 87.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt 87.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right)} \]

      2. pow3 87.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)}\right)}^{3}} \]

   8. Applied egg-rr 87.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{2}, \mathsf{fma}\left({im}^{4}, \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), -1\right)\right)}\right)}^{3}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 74.5% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(im\_m \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 6.5 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.5 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.2 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.5 \cdot 10^{+252}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* re (- (* im_m (* (pow re 2.0) 0.16666666666666666)) im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 6.5e+22)
      (* im_m (- (sin re)))
      (if (<= im_m 4.5e+71)
        t_0
        (if (<= im_m 3.2e+229)
          (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0)))
          (if (<= im_m 4.5e+252)
            t_0
            (* re (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * ((im_m * (pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 6.5e+22) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 4.5e+71) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.2e+229) {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	} else if (im_m <= 4.5e+252) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = re * ((im_m * ((re ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0)) - im_m)
    if (im_m <= 6.5d+22) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else if (im_m <= 4.5d+71) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.2d+229) then
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (im_m ** 3.0d0))
    else if (im_m <= 4.5d+252) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = re * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * ((im_m * (Math.pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 6.5e+22) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 4.5e+71) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.2e+229) {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	} else if (im_m <= 4.5e+252) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = re * ((im_m * (math.pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 6.5e+22:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 4.5e+71:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.2e+229:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	elif im_m <= 4.5e+252:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64((re ^ 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 6.5e+22)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 4.5e+71)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.2e+229)
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	elseif (im_m <= 4.5e+252)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = re * ((im_m * ((re ^ 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 6.5e+22)
		tmp = im_m * -sin(re);
	elseif (im_m <= 4.5e+71)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.2e+229)
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (im_m ^ 3.0));
	elseif (im_m <= 4.5e+252)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(N[Power[re, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 6.5e+22], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.5e+71], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.2e+229], N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.5e+252], t$95$0, N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 6.49999999999999979e22

   1. Initial program 60.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 62.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 62.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 6.49999999999999979e22 < im < 4.50000000000000043e71 or 3.1999999999999998e229 < im < 4.5e252

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 3.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 3.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 3.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 46.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 46.1%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + -1 \cdot im\right)} \]

      2. neg-mul-1 46.1%

         \[\leadsto re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-im\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 46.1%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]

      4. *-commutative 46.1%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot 0.16666666666666666} - im\right) \]

      5. associate-*l* 46.1%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

   8. Simplified 46.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)} \]

   if 4.50000000000000043e71 < im < 3.1999999999999998e229

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 65.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 50.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]

   if 4.5e252 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot re} \]

      2. *-commutative 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

   9. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 61.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.2 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+252}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 75.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4.3 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 4.3e+70)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* re (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.3e+70) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 4.3d+70) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = re * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.3e+70) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 4.3e+70:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.3e+70)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.3e+70)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.3e+70], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.3000000000000001e70

   1. Initial program 61.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4.3000000000000001e70 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 67.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 58.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 58.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot re} \]

      2. *-commutative 58.1%

         \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

   9. Simplified 58.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.3 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 75.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4.3 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 4.3e+70)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.3e+70) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 4.3d+70) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.3e+70) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 4.3e+70:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.3e+70)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.3e+70)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.3e+70], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.3000000000000001e70

   1. Initial program 61.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4.3000000000000001e70 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 67.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 58.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.3 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 56.1% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4.8 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= im_m 4.8e+71) (* im_m (- (sin re))) (* im_m (- re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.8e+71) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * -re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 4.8d+71) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = im_m * -re
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.8e+71) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * -re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 4.8e+71:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = im_m * -re
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.8e+71)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.8e+71)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = im_m * -re;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.8e+71], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.79999999999999961e71

   1. Initial program 61.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4.79999999999999961e71 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 5.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 5.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 14.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 14.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

      2. *-commutative 14.3%

         \[\leadsto -\color{blue}{re \cdot im} \]

      3. distribute-rgt-neg-in 14.3%

         \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

   8. Simplified 14.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.8 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 15.3% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4150000000000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.6666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 4150000000000.0) (* im_m 0.0) (* im_m 0.6666666666666666))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.6666666666666666;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4150000000000.0d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.6666666666666666d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.6666666666666666;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4150000000000.0:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.6666666666666666
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.6666666666666666);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.6666666666666666;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4150000000000.0], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.15e12

   1. Initial program 75.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 19.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 4.15e12 < re

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 8.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 15.3% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4150000000000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 4150000000000.0) (* im_m 0.0) (* im_m 0.5))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.5;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4150000000000.0d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.5d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.5;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4150000000000.0:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.5
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.5);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.5;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4150000000000.0], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.15e12

   1. Initial program 75.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 19.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 4.15e12 < re

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 8.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 15.2% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4150000000000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 4150000000000.0) (* im_m 0.0) (* im_m 0.3333333333333333))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.3333333333333333;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4150000000000.0d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.3333333333333333d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.3333333333333333;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4150000000000.0:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.3333333333333333
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.3333333333333333);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4150000000000.0], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.15e12

   1. Initial program 75.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 19.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 4.15e12 < re

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 7.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 15.2% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4150000000000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.25\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 4150000000000.0) (* im_m 0.0) (* im_m 0.25))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.25;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4150000000000.0d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.25d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.25;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4150000000000.0:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.25
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.25);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.25;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4150000000000.0], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.25), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.15e12

   1. Initial program 75.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 19.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 4.15e12 < re

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 7.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.25} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 15.1% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4150000000000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.1111111111111111\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 4150000000000.0) (* im_m 0.0) (* im_m 0.1111111111111111))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.1111111111111111;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4150000000000.0d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.1111111111111111d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4150000000000.0) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.1111111111111111;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4150000000000.0:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.1111111111111111
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.1111111111111111);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4150000000000.0)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.1111111111111111;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4150000000000.0], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.15e12

   1. Initial program 75.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 19.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 4.15e12 < re

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 92.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 7.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.1111111111111111} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 15.4% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.95 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot -0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 1.95e-38) (* im_m 0.0) (* im_m -0.5))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.95e-38) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * -0.5;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.95d-38) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * (-0.5d0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.95e-38) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * -0.5;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 1.95e-38:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * -0.5
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.95e-38)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * -0.5);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.95e-38)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * -0.5;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 1.95e-38], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * -0.5), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.95e-38

   1. Initial program 75.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 90.4%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 90.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 90.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 90.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 20.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 1.95e-38 < re

   1. Initial program 56.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 7.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{-0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 32.2% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m (- re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * -re)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -re)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -re);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 70.5%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 30.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 30.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

   2. *-commutative 30.6%

      \[\leadsto -\color{blue}{re \cdot im} \]

   3. distribute-rgt-neg-in 30.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

8. Simplified 30.6%

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

9. Final simplification 30.6%

   \[\leadsto im \cdot \left(-re\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 21: 5.8% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m -0.5)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -0.5);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (-0.5d0))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -0.5);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -0.5)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * -0.5))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -0.5);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 70.5%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 91.1%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

   2. +-commutative 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   3. distribute-rgt-in 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   4. *-commutative 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

   5. associate-+l+ 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

5. Simplified 91.8%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 5.4%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{-0.5} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 22: 5.2% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot -512\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m -512.0)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -512.0);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (-512.0d0))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -512.0);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -512.0)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * -512.0))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -512.0);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * -512.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 70.5%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 91.1%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

   2. +-commutative 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   3. distribute-rgt-in 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   4. *-commutative 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

   5. associate-+l+ 91.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

5. Simplified 91.8%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 4.7%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{-512} \]
8. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024085 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))