2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.1% → 98.5%

Time: 13.8s

Alternatives: 13

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\\ t_1 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0 \cdot t\_0, t\_1 \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (sqrt (+ 1.0 x)))) (t_1 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (* t_0 t_0)) (* t_1 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(sqrt((1.0 + x)));
	double t_1 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + (t_0 * t_0)), (t_1 * t_1));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(sqrt(Float64(1.0 + x)))
	t_1 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + Float64(t_0 * t_0)), Float64(t_1 * t_1)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.2%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 93.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 93.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 93.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 93.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. +-commutative 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. log-pow 93.7%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    16. pow1/3 94.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    17. add-exp-log 98.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

    18. pow2 98.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow1/3 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. +-commutative 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. add-sqr-sqrt 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}\right)}}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. unpow-prod-down 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

14. Applied egg-rr 94.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x + 1}}} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. +-commutative 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x + 1}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. +-commutative 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1 + x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

16. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

17. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.2%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 93.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 93.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 93.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 93.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. +-commutative 93.2%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. log-pow 93.7%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    16. pow1/3 94.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    17. add-exp-log 98.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

    18. pow2 98.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow2 98.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

14. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

15. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 6e+17)
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
     (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)))
   (pow (/ (sqrt 0.3333333333333333) (cbrt x)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 6e+17) {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	} else {
		tmp = pow((sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 6e+17)
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 6e+17], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 6e17

   1. Initial program 62.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 64.5%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 84.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 84.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 84.5%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 84.5%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 84.5%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 84.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 84.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 84.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 84.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 84.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 97.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 97.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 98.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 98.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 98.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 98.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 98.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. +-commutative 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. log-pow 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       16. pow1/3 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       17. add-exp-log 98.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

       18. pow2 98.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow2 98.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

       2. pow1/3 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       3. +-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left({\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}\right)} \]

       4. pow-pow 98.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}}\right)} \]

       5. +-commutative 98.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}\right)} \]

       6. metadata-eval 98.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 98.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   if 6e17 < x

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 22.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 22.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 22.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 22.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 22.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 22.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 22.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. *-commutative 22.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

      5. sqrt-pow1 23.8%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 23.8%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      7. pow1 23.8%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 23.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 45.9%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{x}\right)}^{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 45.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}} \]

      2. associate-/l* 45.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \]

      3. associate-*l* 46.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

      4. unpow2 46.0%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      5. cbrt-prod 46.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      6. pow2 46.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      7. associate-/l* 45.9%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}\right) \]

      8. unpow2 45.9%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      9. cbrt-prod 73.7%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      10. pow2 73.7%

          \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 73.7%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 97.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

       2. unpow2 97.6%

          \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}^{2}} \]

       3. associate-*r/ 97.7%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}}^{2} \]

       4. rem-3cbrt-lft 98.0%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)}^{2} \]

       5. unpow2 98.0%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       6. associate-/l/ 98.0%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}^{2} \]

       7. associate-/l* 98.2%

          \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}^{2} \]

       8. associate-*l/ 98.2%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

       9. *-inverses 98.2%

          \[\leadsto {\left(\color{blue}{1} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       10. *-lft-identity 98.2%

           \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

   12. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}\\ \mathbf{if}\;x \leq 66000000:\\ \;\;\;\;\left(t\_0 + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(t\_0 - {x}^{0.16666666666666666}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (+ 1.0 x) 0.16666666666666666)))
   (if (<= x 66000000.0)
     (*
      (+ t_0 (pow x 0.16666666666666666))
      (- t_0 (pow x 0.16666666666666666)))
     (pow (/ (sqrt 0.3333333333333333) (cbrt x)) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow((1.0 + x), 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 66000000.0) {
		tmp = (t_0 + pow(x, 0.16666666666666666)) * (t_0 - pow(x, 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = pow((sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow((1.0 + x), 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 66000000.0) {
		tmp = (t_0 + Math.pow(x, 0.16666666666666666)) * (t_0 - Math.pow(x, 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = Math.pow((Math.sqrt(0.3333333333333333) / Math.cbrt(x)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + x) ^ 0.16666666666666666
	tmp = 0.0
	if (x <= 66000000.0)
		tmp = Float64(Float64(t_0 + (x ^ 0.16666666666666666)) * Float64(t_0 - (x ^ 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.16666666666666666], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 66000000.0], N[(N[(t$95$0 + N[Power[x, 0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - N[Power[x, 0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 6.6e7

   1. Initial program 81.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 80.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 79.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 80.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 80.9%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 80.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 80.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 80.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 80.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 80.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 79.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 80.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 80.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 82.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 83.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 83.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   if 6.6e7 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 24.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 24.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 24.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 24.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 24.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 24.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 24.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. *-commutative 24.2%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

      5. sqrt-pow1 25.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 25.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      7. pow1 25.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 46.8%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{x}\right)}^{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}} \]

      2. associate-/l* 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \]

      3. associate-*l* 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

      4. unpow2 46.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      5. cbrt-prod 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      6. pow2 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      7. associate-/l* 46.7%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}\right) \]

      8. unpow2 46.7%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      9. cbrt-prod 74.0%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      10. pow2 74.0%

          \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 74.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

       2. unpow2 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}^{2}} \]

       3. associate-*r/ 97.5%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}}^{2} \]

       4. rem-3cbrt-lft 97.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)}^{2} \]

       5. unpow2 97.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       6. associate-/l/ 97.8%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}^{2} \]

       7. associate-/l* 97.9%

          \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}^{2} \]

       8. associate-*l/ 97.9%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

       9. *-inverses 97.9%

          \[\leadsto {\left(\color{blue}{1} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       10. *-lft-identity 97.9%

           \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

   12. Simplified 97.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 66000000:\\ \;\;\;\;\left({\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 37000000:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{0.16666666666666666}, {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 37000000.0)
   (fma
    (pow x 0.16666666666666666)
    (- (pow x 0.16666666666666666))
    (pow (+ 1.0 x) 0.3333333333333333))
   (pow (/ (sqrt 0.3333333333333333) (cbrt x)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 37000000.0) {
		tmp = fma(pow(x, 0.16666666666666666), -pow(x, 0.16666666666666666), pow((1.0 + x), 0.3333333333333333));
	} else {
		tmp = pow((sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 37000000.0)
		tmp = fma((x ^ 0.16666666666666666), Float64(-(x ^ 0.16666666666666666)), (Float64(1.0 + x) ^ 0.3333333333333333));
	else
		tmp = Float64(sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 37000000.0], N[(N[Power[x, 0.16666666666666666], $MachinePrecision] * (-N[Power[x, 0.16666666666666666], $MachinePrecision]) + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.7e7

   1. Initial program 84.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 84.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

      2. +-commutative 84.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1}} \]

      3. add-sqr-sqrt 83.0%

         \[\leadsto \left(-\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \]

      4. distribute-rgt-neg-in 83.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(-\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \]

      5. fma-define 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

      6. pow1/3 83.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

      7. sqrt-pow1 83.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

      8. metadata-eval 83.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

      9. pow1/3 82.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

      10. sqrt-pow1 82.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -\color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

      11. metadata-eval 82.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

   4. Applied egg-rr 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 85.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{0.16666666666666666}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{0.16666666666666666}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right) \]

   if 3.7e7 < x

   1. Initial program 4.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 24.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 24.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 24.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 24.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 24.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 24.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 24.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. *-commutative 24.5%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

      5. sqrt-pow1 25.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 25.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      7. pow1 25.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 25.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 46.8%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{x}\right)}^{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}} \]

      2. associate-/l* 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \]

      3. associate-*l* 46.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

      4. unpow2 46.9%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      5. cbrt-prod 46.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      6. pow2 46.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      7. associate-/l* 46.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}\right) \]

      8. unpow2 46.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      9. cbrt-prod 73.9%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      10. pow2 73.9%

          \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 73.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 97.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

       2. unpow2 97.2%

          \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}^{2}} \]

       3. associate-*r/ 97.3%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}}^{2} \]

       4. rem-3cbrt-lft 97.6%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)}^{2} \]

       5. unpow2 97.6%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       6. associate-/l/ 97.6%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}^{2} \]

       7. associate-/l* 97.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}^{2} \]

       8. associate-*l/ 97.8%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

       9. *-inverses 97.8%

          \[\leadsto {\left(\color{blue}{1} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       10. *-lft-identity 97.8%

           \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

   12. Simplified 97.8%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 37000000:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{0.16666666666666666}, {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 30000000:\\ \;\;\;\;\log \left(e^{\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 30000000.0)
   (log (exp (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (pow (/ (sqrt 0.3333333333333333) (cbrt x)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 30000000.0) {
		tmp = log(exp((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x))));
	} else {
		tmp = pow((sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 30000000.0) {
		tmp = Math.log(Math.exp((Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x))));
	} else {
		tmp = Math.pow((Math.sqrt(0.3333333333333333) / Math.cbrt(x)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 30000000.0)
		tmp = log(exp(Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 30000000.0], N[Log[N[Exp[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3e7

   1. Initial program 84.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-log-exp 84.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left(e^{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 84.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(e^{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)} \]

   if 3e7 < x

   1. Initial program 4.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 24.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 24.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 24.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 24.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 24.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 24.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 24.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. *-commutative 24.5%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

      5. sqrt-pow1 25.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 25.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      7. pow1 25.6%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 25.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 46.8%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{x}\right)}^{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}} \]

      2. associate-/l* 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \]

      3. associate-*l* 46.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

      4. unpow2 46.9%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      5. cbrt-prod 46.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      6. pow2 46.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

      7. associate-/l* 46.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}\right) \]

      8. unpow2 46.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      9. cbrt-prod 73.9%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

      10. pow2 73.9%

          \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 73.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 97.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

       2. unpow2 97.2%

          \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}^{2}} \]

       3. associate-*r/ 97.3%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}}^{2} \]

       4. rem-3cbrt-lft 97.6%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)}^{2} \]

       5. unpow2 97.6%

          \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       6. associate-/l/ 97.6%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}^{2} \]

       7. associate-/l* 97.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}^{2} \]

       8. associate-*l/ 97.8%

          \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

       9. *-inverses 97.8%

          \[\leadsto {\left(\color{blue}{1} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

       10. *-lft-identity 97.8%

           \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

   12. Simplified 97.8%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 30000000:\\ \;\;\;\;\log \left(e^{\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (pow (/ (sqrt 0.3333333333333333) (cbrt x)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return pow((sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)), 2.0);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow((Math.sqrt(0.3333333333333333) / Math.cbrt(x)), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(sqrt(0.3333333333333333) / cbrt(x)) ^ 2.0
end

Wolfram

code[x_] := N[Power[N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 25.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 25.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

   2. fma-define 25.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

5. Simplified 25.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

   2. pow2 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-div 25.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

   4. *-commutative 25.3%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

   5. sqrt-pow1 26.4%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

   6. metadata-eval 26.4%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

   7. pow1 26.4%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

7. Applied egg-rr 26.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

8. Taylor expanded in x around inf 46.5%

   \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{x}\right)}^{2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}} \]

   2. associate-/l* 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x} \]

   3. associate-*l* 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

   4. unpow2 46.5%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

   5. cbrt-prod 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

   6. pow2 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \]

   7. associate-/l* 46.4%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}\right) \]

   8. unpow2 46.4%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

   9. cbrt-prod 72.7%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

   10. pow2 72.7%

       \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 72.7%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* 95.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)} \]

    2. unpow2 95.3%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}^{2}} \]

    3. associate-*r/ 95.4%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{x}\right)}}^{2} \]

    4. rem-3cbrt-lft 95.7%

       \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)}^{2} \]

    5. unpow2 95.7%

       \[\leadsto {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

    6. associate-/l/ 95.7%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}^{2} \]

    7. associate-/l* 95.8%

       \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}^{2} \]

    8. associate-*l/ 95.8%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

    9. *-inverses 95.8%

       \[\leadsto {\left(\color{blue}{1} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

    10. *-lft-identity 95.8%

        \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

12. Simplified 95.8%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

13. Final simplification 95.8%

    \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 58.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6.4 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 6.4e+161)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow (/ 1.0 x) 2.0)))
   (/ 1.0 (* 2.0 (pow (cbrt x) 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 6.4e+161) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt(pow((1.0 / x), 2.0));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 * pow(cbrt(x), 2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 6.4e+161) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow((1.0 / x), 2.0));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 * Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 6.4e+161)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt((Float64(1.0 / x) ^ 2.0)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 * (cbrt(x) ^ 2.0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 6.4e+161], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 6.40000000000000004e161

   1. Initial program 10.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 51.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 51.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 50.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 50.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 51.0%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. *-commutative 51.0%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

      5. sqrt-pow1 51.0%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 51.0%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      7. pow1 51.0%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333} \]

      2. unpow2 91.6%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

      3. associate-/r* 93.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

      4. *-rgt-identity 93.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot 1}}{x}} \cdot 0.3333333333333333 \]

      5. associate-*r/ 93.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

      6. unpow2 93.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

   10. Simplified 93.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}} \cdot 0.3333333333333333} \]

   if 6.40000000000000004e161 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 91.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 91.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-undefine 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)} - 1}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 90.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)} - 1}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   10. Simplified 90.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0 19.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right), \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 4.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{{x}^{2}}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. unpow2 4.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

       2. rem-cube-cbrt 4.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}} \cdot x}} \]

       3. rem-cube-cbrt 4.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}}} \]

       4. cube-prod 4.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}^{3}}}} \]

       5. unpow2 4.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}}^{3}}} \]

       6. rem-cbrt-cube 19.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   14. Simplified 19.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6.4 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 49.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 47.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

4. Final simplification 47.9%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 51.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow (/ 1.0 x) 2.0))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt(pow((1.0 / x), 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow((1.0 / x), 2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt((Float64(1.0 / x) ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 25.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 25.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

   2. fma-define 25.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

5. Simplified 25.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

   2. pow2 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-div 25.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

   4. *-commutative 25.3%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}^{2} \]

   5. sqrt-pow1 26.4%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

   6. metadata-eval 26.4%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

   7. pow1 26.4%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

7. Applied egg-rr 26.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}} \]

8. Taylor expanded in x around inf 47.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333} \]

   2. unpow2 47.9%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

   3. associate-/r* 48.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

   4. *-rgt-identity 48.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot 1}}{x}} \cdot 0.3333333333333333 \]

   5. associate-*r/ 48.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

   6. unpow2 48.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333 \]

10. Simplified 48.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}} \cdot 0.3333333333333333} \]

11. Final simplification 48.8%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 7.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 7.4%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 5.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.3%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.3%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.3%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Final simplification 5.3%

   \[\leadsto 1 + \sqrt[3]{x} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 13: 4.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 7.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. +-commutative 7.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1}} \]

   3. add-sqr-sqrt 6.8%

      \[\leadsto \left(-\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \]

   4. distribute-rgt-neg-in 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(-\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \]

   5. fma-define 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   6. pow1/3 8.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

   7. sqrt-pow1 8.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

   8. metadata-eval 8.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}, -\sqrt{\sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

   9. pow1/3 8.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

   10. sqrt-pow1 8.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -\color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

   11. metadata-eval 8.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}, \sqrt[3]{x + 1}\right) \]

4. Applied egg-rr 8.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{0.16666666666666666}, -{x}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + -1 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt1-in 4.2%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 + 1\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   2. metadata-eval 4.2%

      \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{0} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) \]

   3. mul0-lft 4.2%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{0} \]

   4. mul0-rgt 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]

7. Simplified 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

8. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto 0 \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024085 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))