bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.1% → 97.3%

Time: 24.2s

Alternatives: 10

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.7498386815464025e+28

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.00000002:\\ \;\;\;\;{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00000002) (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666) (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00000002) {
		tmp = pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00000002d0) then
        tmp = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00000002) {
		tmp = Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00000002:
		tmp = math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00000002)
		tmp = Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666);
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00000002)
		tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00000002], N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0000000200000001

   1. Initial program 51.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.0000000200000001 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 58.4%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00000002:\\ \;\;\;\;{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.8% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (fma
    (pow x 2.0)
    (fma (pow x 2.0) -2.6455026455026456e-5 0.0003527336860670194)
    -0.005555555555555556)
   (pow x 4.0))
  (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return (fma(pow(x, 2.0), fma(pow(x, 2.0), -2.6455026455026456e-5, 0.0003527336860670194), -0.005555555555555556) * pow(x, 4.0)) + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma((x ^ 2.0), fma((x ^ 2.0), -2.6455026455026456e-5, 0.0003527336860670194), -0.005555555555555556) * (x ^ 4.0)) + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5 + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   5. fma-neg 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   6. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194}, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   7. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}} + 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   8. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right)}, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   9. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   10. pow-prod-up 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   11. metadata-eval 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{\color{blue}{4}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   12. *-commutative 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

5. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + {x}^{2} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (-
     (*
      (pow x 2.0)
      (+ 0.0003527336860670194 (* (pow x 2.0) -2.6455026455026456e-5)))
     0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * (0.0003527336860670194 + (pow(x, 2.0) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (0.0003527336860670194d0 + ((x ** 2.0d0) * (-2.6455026455026456d-5)))) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * (0.0003527336860670194 + (Math.pow(x, 2.0) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * (0.0003527336860670194 + (math.pow(x, 2.0) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64((x ^ 2.0) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * (0.0003527336860670194 + ((x ^ 2.0) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + {x}^{2} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666)
  (*
   (pow x 4.0)
   (- (* (pow x 2.0) 0.0003527336860670194) 0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (pow(x, 4.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0) + ((x ** 4.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.0003527336860670194d0) - 0.005555555555555556d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (Math.pow(x, 4.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (math.pow(x, 4.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666) + Float64((x ^ 4.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666) + ((x ^ 4.0) * (((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   5. fma-neg 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   6. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194}, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   7. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}} + 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   8. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right)}, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   9. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   10. pow-prod-up 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   11. metadata-eval 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{\color{blue}{4}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   12. *-commutative 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

5. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, 0.0003527336860670194\right), -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

7. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.0003527336860670194) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.0003527336860670194d0) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.005555555555555556} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* (pow x 2.0) 0.027777777777777776)
  (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) 0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776) / (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * 0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 2.0d0) * 0.027777777777777776d0) / (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.005555555555555556d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776) / (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776) / (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * 0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776) / Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * 0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776) / (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * 0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}} \]

   2. associate-*r/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}} \]

   3. metadata-eval 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556} \]

   4. swap-sqr 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556} \]

   5. pow-prod-up 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556} \]

   6. metadata-eval 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556} \]

   7. metadata-eval 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{3.08641975308642 \cdot 10^{-5}}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556} \]

   8. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{0.16666666666666666 - \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}}} \]

   9. cancel-sign-sub-inv 95.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(--0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}}} \]

   10. metadata-eval 95.9%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{0.005555555555555556} \cdot {x}^{2}} \]

7. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{0.16666666666666666 + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}}{0.16666666666666666 + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}}{0.16666666666666666 + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}}{0.16666666666666666 + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

11. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.005555555555555556} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0) + ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666) + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666) + (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2} \]

   3. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   5. pow-prod-up 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   6. metadata-eval 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{\color{blue}{4}} \]

7. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 49.8% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 51.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 51.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   2. pow3 51.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{3}\right)} \]

   3. log-pow 51.4%

      \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 51.4%

   \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 50.7%

   \[\leadsto 3 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.05555555555555555 + {x}^{2} \cdot \left(4.327519759618525 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2} - 0.00030864197530864197\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around inf 48.3%

   \[\leadsto 3 \cdot \log \left(1 + \color{blue}{4.327519759618525 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{6}}\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0 47.8%

   \[\leadsto 3 \cdot \color{blue}{0} \]

8. Final simplification 47.8%

   \[\leadsto 0 \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024084 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))