math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.5% → 99.7%

Time: 8.6s

Alternatives: 16

Speedup: 2.8×

• 48.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -20:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -20.0)
      (* t_0 t_1)
      (*
       t_1
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (pow im_m 2.0)
          (- (* (pow im_m 2.0) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -20.0) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * ((pow(im_m, 2.0) * ((pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (t_0 <= (-20.0d0)) then
        tmp = t_0 * t_1
    else
        tmp = t_1 * (im_m * (((im_m ** 2.0d0) * (((im_m ** 2.0d0) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -20.0) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * ((Math.pow(im_m, 2.0) * ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if t_0 <= -20.0:
		tmp = t_0 * t_1
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * ((math.pow(im_m, 2.0) * ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -20.0)
		tmp = Float64(t_0 * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -20.0)
		tmp = t_0 * t_1;
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m ^ 2.0) * (((im_m ^ 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -20.0], N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -20

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -20 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 54.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -20:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.002:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im\_m}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.002)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (* (sin re) (+ -1.0 (* (pow im_m 2.0) -0.16666666666666666))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.002) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.002d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m ** 2.0d0) * (-0.16666666666666666d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.002) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + (Math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.002:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + (math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.002)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.002)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.002], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -2e-3

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -2e-3 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 54.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.002:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.05:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.05)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (if (<= im_m 5e+60)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.05) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 5e+60) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.05d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 5d+60) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.05) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 5e+60) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.05:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	elif im_m <= 5e+60:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.05)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.05)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 5e+60)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.05], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5e+60], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.050000000000000003

   1. Initial program 54.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 91.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 91.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 91.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 91.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 91.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 0.050000000000000003 < im < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 4.99999999999999975e60 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.05:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.031:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im\_m}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.031)
    (* im_m (* (sin re) (+ -1.0 (* (pow im_m 2.0) -0.16666666666666666))))
    (if (<= im_m 5e+60)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.031) {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 5e+60) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.031d0) then
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m ** 2.0d0) * (-0.16666666666666666d0))))
    else if (im_m <= 5d+60) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.031) {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + (Math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 5e+60) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.031:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + (math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666)))
	elif im_m <= 5e+60:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.031)
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666))));
	elseif (im_m <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.031)
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666)));
	elseif (im_m <= 5e+60)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.031], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5e+60], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.031

   1. Initial program 54.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 0.031 < im < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 4.99999999999999975e60 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.031:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5.0)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.0) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5.0d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.0) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5.0:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.0)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.0)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.0], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 90.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 90.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 91.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 91.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 91.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 91.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 91.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 5 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 87.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.3:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.3)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.3) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.3d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.3) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.3:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.3)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.3)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.3], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.2999999999999998

   1. Initial program 54.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 68.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 68.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.2999999999999998 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.3:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 76.6% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 550:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9.6 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot {im\_m}^{4}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 550.0)
    (* im_m (- (sin re)))
    (if (<= im_m 9.6e+116)
      (* re (- (* im_m (* (pow re 2.0) 0.16666666666666666)) im_m))
      (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.008333333333333333 (pow im_m 4.0)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 550.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 9.6e+116) {
		tmp = re * ((im_m * (pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * pow(im_m, 4.0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 550.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else if (im_m <= 9.6d+116) then
        tmp = re * ((im_m * ((re ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0)) - im_m)
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.008333333333333333d0) * (im_m ** 4.0d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 550.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 9.6e+116) {
		tmp = re * ((im_m * (Math.pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * Math.pow(im_m, 4.0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 550.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 9.6e+116:
		tmp = re * ((im_m * (math.pow(re, 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m)
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * math.pow(im_m, 4.0))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 550.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 9.6e+116)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64((re ^ 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.008333333333333333 * (im_m ^ 4.0)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 550.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	elseif (im_m <= 9.6e+116)
		tmp = re * ((im_m * ((re ^ 2.0) * 0.16666666666666666)) - im_m);
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * (im_m ^ 4.0))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 550.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 9.6e+116], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(N[Power[re, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 550

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 67.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 550 < im < 9.6000000000000001e116

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 39.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      2. +-commutative 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      3. unsub-neg 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]

      4. *-commutative 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot 0.16666666666666666} - im\right) \]

      5. associate-*l* 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

   8. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)} \]

   if 9.6000000000000001e116 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}} - 2\right)\right) \]

   5. Taylor expanded in re around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)}\right)\right) \]

      2. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)\right)} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)\right) \]

      5. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)} \]

      6. fma-undefine 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} + -2\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

      8. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      9. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.016666666666666666\right)} \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      10. associate-*l* 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      11. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{-0.008333333333333333}\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      12. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right)} \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      13. associate-*l* 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \sin re\right) \cdot im} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      14. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} \cdot im + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      15. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 81.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} - 1\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 550:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 74.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 680:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.25 \cdot 10^{+122}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot {re}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 680.0)
    (* im_m (- (sin re)))
    (if (<= im_m 3.25e+122)
      (* 0.16666666666666666 (* im_m (pow re 3.0)))
      (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 680.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 3.25e+122) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * pow(re, 3.0));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 680.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else if (im_m <= 3.25d+122) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (im_m * (re ** 3.0d0))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 680.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 3.25e+122) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * Math.pow(re, 3.0));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 680.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 3.25e+122:
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * math.pow(re, 3.0))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 680.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 3.25e+122)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(im_m * (re ^ 3.0)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 680.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	elseif (im_m <= 3.25e+122)
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * (re ^ 3.0));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 680.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.25e+122], N[(0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[Power[re, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 680

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 67.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 680 < im < 3.24999999999999982e122

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 40.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 40.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      2. +-commutative 40.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      3. unsub-neg 40.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]

      4. *-commutative 40.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot 0.16666666666666666} - im\right) \]

      5. associate-*l* 40.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

   8. Simplified 40.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)} \]

   if 3.24999999999999982e122 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 73.3%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 73.3%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 1\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 73.3%

      \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 1\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 66.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 680:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.25 \cdot 10^{+122}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 76.5% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 650:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 8.5 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot {re}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{im\_m}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 650.0)
    (* im_m (- (sin re)))
    (if (<= im_m 8.5e+116)
      (* 0.16666666666666666 (* im_m (pow re 3.0)))
      (* (pow im_m 3.0) (* re -0.16666666666666666))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 650.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 8.5e+116) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * pow(re, 3.0));
	} else {
		tmp = pow(im_m, 3.0) * (re * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 650.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else if (im_m <= 8.5d+116) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (im_m * (re ** 3.0d0))
    else
        tmp = (im_m ** 3.0d0) * (re * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 650.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 8.5e+116) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * Math.pow(re, 3.0));
	} else {
		tmp = Math.pow(im_m, 3.0) * (re * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 650.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 8.5e+116:
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * math.pow(re, 3.0))
	else:
		tmp = math.pow(im_m, 3.0) * (re * -0.16666666666666666)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 650.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 8.5e+116)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(im_m * (re ^ 3.0)));
	else
		tmp = Float64((im_m ^ 3.0) * Float64(re * -0.16666666666666666));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 650.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	elseif (im_m <= 8.5e+116)
		tmp = 0.16666666666666666 * (im_m * (re ^ 3.0));
	else
		tmp = (im_m ^ 3.0) * (re * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 650.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 8.5e+116], N[(0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[Power[re, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 650

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 67.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 650 < im < 8.5000000000000002e116

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 39.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      2. +-commutative 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      3. unsub-neg 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]

      4. *-commutative 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot 0.16666666666666666} - im\right) \]

      5. associate-*l* 39.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

   8. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - im\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf 38.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)} \]

   if 8.5000000000000002e116 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 89.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 89.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 89.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 69.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]

      2. associate-*r* 81.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot re\right) \cdot {im}^{3}} \]

      3. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} \]

   9. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 650:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.5 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 80.0% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.4 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot {im\_m}^{4}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.4e+25)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.008333333333333333 (pow im_m 4.0))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.4e+25) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * pow(im_m, 4.0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.4d+25) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.008333333333333333d0) * (im_m ** 4.0d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.4e+25) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * Math.pow(im_m, 4.0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.4e+25:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * math.pow(im_m, 4.0))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.4e+25)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.008333333333333333 * (im_m ^ 4.0)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.4e+25)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * (im_m ^ 4.0))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.4e+25], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.4000000000000001e25

   1. Initial program 55.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 66.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 66.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 66.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 66.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 1.4000000000000001e25 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 92.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}} - 2\right)\right) \]

   5. Taylor expanded in re around inf 92.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-neg 92.1%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)}\right)\right) \]

      2. metadata-eval 92.1%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* 92.1%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)\right)} \]

      4. *-commutative 92.1%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)\right) \]

      5. associate-*r* 92.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{4}, -2\right)} \]

      6. fma-undefine 92.1%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} + -2\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 92.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

      8. associate-*r* 92.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      9. *-commutative 92.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.016666666666666666\right)} \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      10. associate-*l* 92.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      11. metadata-eval 92.1%

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{-0.008333333333333333}\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      12. *-commutative 92.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right)} \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      13. associate-*l* 92.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \sin re\right) \cdot im} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      14. associate-*r* 92.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} \cdot im + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      15. *-commutative 92.1%

          \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

   7. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 70.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} - 1\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.4 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 74.6% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.65 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.65e+25)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.65e+25) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.65d+25) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.65e+25) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.65e+25:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.65e+25)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.65e+25)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.65e+25], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.6500000000000001e25

   1. Initial program 55.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 66.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 66.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 66.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 66.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 1.6500000000000001e25 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 71.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 71.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 71.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 71.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 71.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 54.5%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 54.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 1\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 54.5%

      \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 1\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.65 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 51.1% accurate, 28.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.1%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 85.0%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 85.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

   2. distribute-rgt-out 85.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   3. *-commutative 85.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

5. Simplified 85.0%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0 54.1%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 54.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 1\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 54.1%

   \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 1\right)\right) \]

9. Final simplification 54.1%

   \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 33.5% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m (- re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * -re)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -re)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -re);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.1%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 52.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 52.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 52.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 52.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 34.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 34.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

   2. distribute-rgt-neg-in 34.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]

8. Simplified 34.8%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]

9. Final simplification 34.8%

   \[\leadsto im \cdot \left(-re\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot -512 \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -512.0))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -512.0;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-512.0d0)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -512.0;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -512.0

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -512.0)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -512.0;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -512.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.1%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 93.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 2.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-512} \]

6. Final simplification 2.9%

   \[\leadsto -512 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 15: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot -5.080526342529086 \cdot 10^{-5} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -5.080526342529086e-5))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -5.080526342529086e-5;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-5.080526342529086d-5)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -5.080526342529086e-5;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -5.080526342529086e-5

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -5.080526342529086e-5)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -5.080526342529086e-5;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -5.080526342529086e-5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.1%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 93.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 2.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-5.080526342529086 \cdot 10^{-5}} \]

6. Final simplification 2.9%

   \[\leadsto -5.080526342529086 \cdot 10^{-5} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 16: 15.6% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot 0 \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s 0.0))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * 0.0;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * 0.0d0
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * 0.0;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * 0.0

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * 0.0)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * 0.0;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * 0.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.1%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 93.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 15.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

6. Final simplification 15.7%

   \[\leadsto 0 \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024080 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))