math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 66.1% → 99.7%

Time: 9.6s

Alternatives: 16

Speedup: 2.8×

• 49.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 66.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -500:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -500.0)
      (* t_0 t_1)
      (*
       t_1
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (pow im_m 2.0)
          (- (* (pow im_m 2.0) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -500.0) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * ((pow(im_m, 2.0) * ((pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (t_0 <= (-500.0d0)) then
        tmp = t_0 * t_1
    else
        tmp = t_1 * (im_m * (((im_m ** 2.0d0) * (((im_m ** 2.0d0) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -500.0) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * ((Math.pow(im_m, 2.0) * ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if t_0 <= -500.0:
		tmp = t_0 * t_1
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * ((math.pow(im_m, 2.0) * ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -500.0)
		tmp = Float64(t_0 * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -500.0)
		tmp = t_0 * t_1;
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m ^ 2.0) * (((im_m ^ 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -500.0], N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -500

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -500 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 51.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -500:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -500:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{2}\right) - \sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -500.0)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (- (* -0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im_m 2.0))) (sin re)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -500.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (sin(re) * pow(im_m, 2.0))) - sin(re));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-500.0d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (((-0.16666666666666666d0) * (sin(re) * (im_m ** 2.0d0))) - sin(re))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -500.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 2.0))) - Math.sin(re));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -500.0:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 2.0))) - math.sin(re))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -500.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 2.0))) - sin(re)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -500.0)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * ((-0.16666666666666666 * (sin(re) * (im_m ^ 2.0))) - sin(re));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -500.0], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -500

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -500 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 51.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -500:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) - \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -500:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -500.0)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -500.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-500.0d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -500.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -500.0:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -500.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -500.0)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -500.0], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -500

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -500 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 51.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 86.0%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -500:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.07:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.6 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.07)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (if (<= im_m 1.6e+54)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.07) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.6e+54) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.07d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 1.6d+54) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.07) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.6e+54) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.07:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	elif im_m <= 1.6e+54:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.07)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 1.6e+54)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.07)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 1.6e+54)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.07], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.6e+54], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.070000000000000007

   1. Initial program 51.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 86.0%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 86.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 87.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 87.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 0.070000000000000007 < im < 1.6e54

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 80.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 80.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 80.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 1.6e54 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 98.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.07:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.6 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.9 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) + im\_m \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.2e+14)
    (* (- im_m) (sin re))
    (if (<= im_m 1.9e+49)
      (+ (* im_m (* -0.16666666666666666 (pow re 3.0))) (* im_m re))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else if (im_m <= 1.9e+49) {
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * pow(re, 3.0))) + (im_m * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.2d+14) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else if (im_m <= 1.9d+49) then
        tmp = (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re ** 3.0d0))) + (im_m * re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 1.9e+49) {
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * Math.pow(re, 3.0))) + (im_m * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.2e+14:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	elif im_m <= 1.9e+49:
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * math.pow(re, 3.0))) + (im_m * re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	elseif (im_m <= 1.9e+49)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * (re ^ 3.0))) + Float64(im_m * re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = -im_m * sin(re);
	elseif (im_m <= 1.9e+49)
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * (re ^ 3.0))) + (im_m * re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.2e+14], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.9e+49], N[(N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[re, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.2e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.2e14 < im < 1.8999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 3.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 3.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 3.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 3.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 3.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

      2. associate-*r* 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

      3. distribute-lft1-in 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

      4. *-commutative 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot -0.16666666666666666} + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

   8. Simplified 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left({re}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative 0.3%

          \[\leadsto -\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot im} \]

       3. distribute-rgt-neg-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \left(-im\right)} \]

       4. distribute-rgt-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot re + \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(-im\right) \]

       5. *-lft-identity 0.3%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{re} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(-im\right) \]

       6. associate-*r* 0.3%

          \[\leadsto \left(re + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right)}\right) \cdot \left(-im\right) \]

       7. unpow2 0.3%

          \[\leadsto \left(re + -0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot re\right)\right) \cdot \left(-im\right) \]

       8. unpow3 0.3%

          \[\leadsto \left(re + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{re}^{3}}\right) \cdot \left(-im\right) \]

   11. Simplified 0.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(-im\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \left(re + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right)} \]

       2. +-commutative 0.3%

          \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} + re\right)} \]

       3. distribute-rgt-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(-im\right) + re \cdot \left(-im\right)} \]

       4. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} + re \cdot \left(-im\right) \]

       5. sqrt-unprod 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} + re \cdot \left(-im\right) \]

       6. sqr-neg 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} + re \cdot \left(-im\right) \]

       7. sqrt-prod 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} + re \cdot \left(-im\right) \]

       8. add-sqr-sqrt 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{im} + re \cdot \left(-im\right) \]

       9. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} \]

       10. sqrt-unprod 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \]

       11. sqr-neg 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} \]

       12. sqrt-prod 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \]

       13. add-sqr-sqrt 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{im} \]

   13. Applied egg-rr 68.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot im} \]

   if 1.8999999999999999e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 93.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 70.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.9 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) + im \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im\_m}^{5} - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.75 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) + im\_m \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.2e+14)
    (* (sin re) (- (* -0.008333333333333333 (pow im_m 5.0)) im_m))
    (if (<= im_m 1.75e+49)
      (+ (* im_m (* -0.16666666666666666 (pow re 3.0))) (* im_m re))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = sin(re) * ((-0.008333333333333333 * pow(im_m, 5.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.75e+49) {
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * pow(re, 3.0))) + (im_m * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.2d+14) then
        tmp = sin(re) * (((-0.008333333333333333d0) * (im_m ** 5.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 1.75d+49) then
        tmp = (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re ** 3.0d0))) + (im_m * re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.008333333333333333 * Math.pow(im_m, 5.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.75e+49) {
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * Math.pow(re, 3.0))) + (im_m * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.2e+14:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.008333333333333333 * math.pow(im_m, 5.0)) - im_m)
	elif im_m <= 1.75e+49:
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * math.pow(re, 3.0))) + (im_m * re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.008333333333333333 * (im_m ^ 5.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 1.75e+49)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * (re ^ 3.0))) + Float64(im_m * re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = sin(re) * ((-0.008333333333333333 * (im_m ^ 5.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 1.75e+49)
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * (re ^ 3.0))) + (im_m * re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.2e+14], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.75e+49], N[(N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[re, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.2e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 89.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}} - 2\right)\right) \]

   5. Taylor expanded in re around inf 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right)} \]

      2. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right) \]

      3. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)} \]

      4. sub-neg 89.4%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. metadata-eval 89.4%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} + \color{blue}{-2}\right) \]

      6. distribute-rgt-out 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

      7. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      8. fma-define 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot 0.5, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right)} \]

      9. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.016666666666666666\right)} \cdot 0.5, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{im}^{4} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot 0.5\right)}, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({im}^{4} \cdot \color{blue}{-0.008333333333333333}, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}}, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      13. fma-undefine 89.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

      14. associate-*l* 89.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \sin re\right) \cdot im} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      15. associate-*r* 89.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} \cdot im + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

   7. Simplified 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-\sin re\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im} \]

      3. distribute-lft-neg-out 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]

      4. mul-1-neg 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \sin re\right)} \cdot im \]

      6. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + \left(\color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)} \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      7. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]

      8. distribute-rgt-out 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      9. associate-*l* 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      10. +-commutative 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333 + -1\right)}\right) \]

      11. distribute-rgt-in 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im + -1 \cdot im\right)} \]

      12. mul-1-neg 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im + \color{blue}{\left(-im\right)}\right) \]

      13. unsub-neg 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im - im\right)} \]

      14. *-commutative 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right)} \cdot im - im\right) \]

      15. associate-*l* 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot im\right)} - im\right) \]

      16. pow-plus 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(4 + 1\right)}} - im\right) \]

      17. metadata-eval 89.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{\color{blue}{5}} - im\right) \]

   10. Simplified 89.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right)} \]

   if 3.2e14 < im < 1.74999999999999987e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 3.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 3.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 3.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 3.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 3.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

      2. associate-*r* 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

      3. distribute-lft1-in 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

      4. *-commutative 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot -0.16666666666666666} + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

   8. Simplified 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left({re}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative 0.3%

          \[\leadsto -\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot im} \]

       3. distribute-rgt-neg-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \left(-im\right)} \]

       4. distribute-rgt-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot re + \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(-im\right) \]

       5. *-lft-identity 0.3%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{re} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(-im\right) \]

       6. associate-*r* 0.3%

          \[\leadsto \left(re + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right)}\right) \cdot \left(-im\right) \]

       7. unpow2 0.3%

          \[\leadsto \left(re + -0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot re\right)\right) \cdot \left(-im\right) \]

       8. unpow3 0.3%

          \[\leadsto \left(re + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{re}^{3}}\right) \cdot \left(-im\right) \]

   11. Simplified 0.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(-im\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \left(re + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right)} \]

       2. +-commutative 0.3%

          \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} + re\right)} \]

       3. distribute-rgt-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(-im\right) + re \cdot \left(-im\right)} \]

       4. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} + re \cdot \left(-im\right) \]

       5. sqrt-unprod 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} + re \cdot \left(-im\right) \]

       6. sqr-neg 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} + re \cdot \left(-im\right) \]

       7. sqrt-prod 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} + re \cdot \left(-im\right) \]

       8. add-sqr-sqrt 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{im} + re \cdot \left(-im\right) \]

       9. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} \]

       10. sqrt-unprod 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \]

       11. sqr-neg 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} \]

       12. sqrt-prod 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \]

       13. add-sqr-sqrt 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{im} \]

   13. Applied egg-rr 68.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot im} \]

   if 1.74999999999999987e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 93.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 89.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.75 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) + im \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.95 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) + im\_m \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.2e+14)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (if (<= im_m 1.95e+49)
      (+ (* im_m (* -0.16666666666666666 (pow re 3.0))) (* im_m re))
      (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im_m 5.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.95e+49) {
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * pow(re, 3.0))) + (im_m * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.2d+14) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 1.95d+49) then
        tmp = (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re ** 3.0d0))) + (im_m * re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.95e+49) {
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * Math.pow(re, 3.0))) + (im_m * re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.2e+14:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	elif im_m <= 1.95e+49:
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * math.pow(re, 3.0))) + (im_m * re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 1.95e+49)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * (re ^ 3.0))) + Float64(im_m * re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 1.95e+49)
		tmp = (im_m * (-0.16666666666666666 * (re ^ 3.0))) + (im_m * re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.2e+14], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.95e+49], N[(N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[re, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.2e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 82.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 82.7%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 82.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 83.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 83.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 83.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 83.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 83.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 3.2e14 < im < 1.95e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 3.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 3.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 3.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 3.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 3.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 3.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

      2. associate-*r* 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

      3. distribute-lft1-in 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

      4. *-commutative 0.3%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot -0.16666666666666666} + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

   8. Simplified 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left({re}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + 1\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative 0.3%

          \[\leadsto -\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot im} \]

       3. distribute-rgt-neg-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \left(-im\right)} \]

       4. distribute-rgt-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot re + \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(-im\right) \]

       5. *-lft-identity 0.3%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{re} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(-im\right) \]

       6. associate-*r* 0.3%

          \[\leadsto \left(re + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right)}\right) \cdot \left(-im\right) \]

       7. unpow2 0.3%

          \[\leadsto \left(re + -0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot re\right)\right) \cdot \left(-im\right) \]

       8. unpow3 0.3%

          \[\leadsto \left(re + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{re}^{3}}\right) \cdot \left(-im\right) \]

   11. Simplified 0.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(-im\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \left(re + -0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right)} \]

       2. +-commutative 0.3%

          \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} + re\right)} \]

       3. distribute-rgt-in 0.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(-im\right) + re \cdot \left(-im\right)} \]

       4. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} + re \cdot \left(-im\right) \]

       5. sqrt-unprod 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} + re \cdot \left(-im\right) \]

       6. sqr-neg 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} + re \cdot \left(-im\right) \]

       7. sqrt-prod 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} + re \cdot \left(-im\right) \]

       8. add-sqr-sqrt 68.1%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{im} + re \cdot \left(-im\right) \]

       9. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} \]

       10. sqrt-unprod 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \]

       11. sqr-neg 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} \]

       12. sqrt-prod 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \]

       13. add-sqr-sqrt 68.0%

           \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot \color{blue}{im} \]

   13. Applied egg-rr 68.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im + re \cdot im} \]

   if 1.95e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 93.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 85.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.95 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) + im \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 77.0% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.4e+14)
    (* (- im_m) (sin re))
    (* re (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+14) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = re * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.4d+14) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = re * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+14) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = re * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.4e+14:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = re * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.4e+14)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.4e+14)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = re * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.4e+14], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.4e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.4e14 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 54.9%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 54.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 59.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 59.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg 59.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      13. unsub-neg 59.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

   5. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 80.7% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im\_m}^{5} - im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.2e+14)
    (* (- im_m) (sin re))
    (* re (- (* -0.008333333333333333 (pow im_m 5.0)) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = re * ((-0.008333333333333333 * pow(im_m, 5.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.2d+14) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = re * (((-0.008333333333333333d0) * (im_m ** 5.0d0)) - im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.2e+14) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = re * ((-0.008333333333333333 * Math.pow(im_m, 5.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.2e+14:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = re * ((-0.008333333333333333 * math.pow(im_m, 5.0)) - im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(-0.008333333333333333 * (im_m ^ 5.0)) - im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.2e+14)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = re * ((-0.008333333333333333 * (im_m ^ 5.0)) - im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.2e+14], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.2e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.2e14 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 80.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in im around inf 80.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}} - 2\right)\right) \]

   5. Taylor expanded in re around inf 80.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 80.3%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right)} \]

      2. *-commutative 80.3%

         \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)\right) \]

      3. associate-*r* 80.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} - 2\right)} \]

      4. sub-neg 80.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. metadata-eval 80.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4} + \color{blue}{-2}\right) \]

      6. distribute-rgt-out 80.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

      7. associate-*r* 80.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      8. fma-define 80.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{4}\right) \cdot 0.5, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right)} \]

      9. *-commutative 80.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left({im}^{4} \cdot -0.016666666666666666\right)} \cdot 0.5, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{im}^{4} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot 0.5\right)}, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({im}^{4} \cdot \color{blue}{-0.008333333333333333}, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}}, \sin re \cdot im, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]

      13. fma-undefine 80.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

      14. associate-*l* 80.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right) \cdot \sin re\right) \cdot im} + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      15. associate-*r* 80.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)\right)} \cdot im + -2 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

   7. Simplified 80.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} - 1\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot re\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} - 1\right)} \]

      2. *-commutative 61.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot im\right)} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} - 1\right) \]

      3. associate-*r* 61.2%

         \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} - 1\right)\right)} \]

      4. sub-neg 61.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

      5. *-commutative 61.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{{im}^{4} \cdot -0.008333333333333333} + \left(-1\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval 61.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333 + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-in 61.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im + -1 \cdot im\right)} \]

      8. mul-1-neg 61.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im + \color{blue}{\left(-im\right)}\right) \]

      9. unsub-neg 61.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{4} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im - im\right)} \]

      10. *-commutative 61.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{4}\right)} \cdot im - im\right) \]

      11. associate-*l* 61.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{4} \cdot im\right)} - im\right) \]

      12. pow-plus 61.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(4 + 1\right)}} - im\right) \]

      13. metadata-eval 61.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{\color{blue}{5}} - im\right) \]

   10. Simplified 61.2%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 77.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.4e+14)
    (* (- im_m) (sin re))
    (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+14) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.4d+14) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+14) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.4e+14:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.4e+14)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.4e+14)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.4e+14], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.4e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.4e14 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 76.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 76.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 76.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 76.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 48.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 56.6% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.3 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= im_m 3.3e+14) (* (- im_m) (sin re)) (* im_m (- re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.3e+14) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * -re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.3d+14) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = im_m * -re
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.3e+14) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * -re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.3e+14:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = im_m * -re
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.3e+14)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.3e+14)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = im_m * -re;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.3e+14], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.3e14

   1. Initial program 53.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.3e14 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 14.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 14.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

      2. distribute-rgt-neg-in 14.3%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]

   8. Simplified 14.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.3 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 32.9% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m (- re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * -re)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -re)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -re);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.8%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 49.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 49.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 49.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 49.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 30.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

   2. distribute-rgt-neg-in 30.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]

8. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]

9. Final simplification 30.1%

   \[\leadsto im \cdot \left(-re\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot -512 \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -512.0))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -512.0;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-512.0d0)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -512.0;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -512.0

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -512.0)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -512.0;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -512.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.8%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 87.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 2.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-512} \]

6. Final simplification 2.6%

   \[\leadsto -512 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 14: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot -0.0013717421124828531 \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -0.0013717421124828531))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -0.0013717421124828531;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-0.0013717421124828531d0)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -0.0013717421124828531;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -0.0013717421124828531

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -0.0013717421124828531)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -0.0013717421124828531;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -0.0013717421124828531), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.8%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 87.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 2.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.0013717421124828531} \]

6. Final simplification 2.6%

   \[\leadsto -0.0013717421124828531 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 15: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot -4.6296296296296296 \cdot 10^{-6} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -4.6296296296296296e-6))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -4.6296296296296296e-6;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-4.6296296296296296d-6)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -4.6296296296296296e-6;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -4.6296296296296296e-6

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -4.6296296296296296e-6)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -4.6296296296296296e-6;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -4.6296296296296296e-6), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.8%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 87.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 2.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-4.6296296296296296 \cdot 10^{-6}} \]

6. Final simplification 2.6%

   \[\leadsto -4.6296296296296296 \cdot 10^{-6} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 16: 15.3% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot 0 \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s 0.0))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * 0.0;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * 0.0d0
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * 0.0;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * 0.0

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * 0.0)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * 0.0;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * 0.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.8%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 87.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 11.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

6. Final simplification 11.9%

   \[\leadsto 0 \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024079 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))