Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 97.2%

Time: 6.6s

Alternatives: 4

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333, {x}^{3}, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  (- (* (pow x 2.0) 0.13333333333333333) 0.3333333333333333)
  (pow x 3.0)
  x))

C

double code(double x) {
	return fma(((pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333), pow(x, 3.0), x);
}

Julia

function code(x)
	return fma(Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333), (x ^ 3.0), x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 98.6%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

   4. associate-*l* 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x \]

   5. *-lft-identity 98.6%

      \[\leadsto \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right) + \color{blue}{x} \]

   6. fma-define 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right)} \]

   7. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   8. fma-neg 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right)}, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   9. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right), {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   10. pow-plus 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, x\right) \]

   11. metadata-eval 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{\color{blue}{3}}, x\right) \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{3}, x\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right), {x}^{3}, x\right) \]

   2. fma-neg 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333}, {x}^{3}, x\right) \]

7. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333}, {x}^{3}, x\right) \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333, {x}^{3}, x\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.13333333333333333) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.13333333333333333d0) - 0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.8% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + 1\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

   4. associate-*l* 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x \]

   5. unpow2 98.4%

      \[\leadsto -0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x \]

   6. pow3 98.4%

      \[\leadsto -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x \]

   7. *-un-lft-identity 98.4%

      \[\leadsto -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x} \]

7. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x} \]

8. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.6% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 9.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto x \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024077 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))