ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.0% → 99.5%

Time: 30.2s

Alternatives: 6

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.00023644179894179894 - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (-
     (*
      (pow x 2.0)
      (- (* (pow x 2.0) -0.00023644179894179894) 0.0007275132275132275))
     0.06388888888888888)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.00023644179894179894d0)) - 0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.00023644179894179894), $MachinePrecision] - 0.0007275132275132275), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.00023644179894179894 - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.3% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (fma (pow x 4.0) 0.00408179012345679 -0.027777777777777776)
  (* x (/ x (fma (pow x 2.0) -0.06388888888888888 -0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return fma(pow(x, 4.0), 0.00408179012345679, -0.027777777777777776) * (x * (x / fma(pow(x, 2.0), -0.06388888888888888, -0.16666666666666666)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma((x ^ 4.0), 0.00408179012345679, -0.027777777777777776) * Float64(x * Float64(x / fma((x ^ 2.0), -0.06388888888888888, -0.16666666666666666))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x / N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.2%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right)} \]

6. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 99.2%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666}} \]

   2. associate-*r/ 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666}} \]

   3. sub-neg 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   4. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   5. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   6. swap-sqr 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   7. pow-prod-up 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   8. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{0.00408179012345679} + \left(-0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   10. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + \left(-\color{blue}{0.027777777777777776}\right)\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   11. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + \color{blue}{-0.027777777777777776}\right)}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666} \]

   12. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} - 0.16666666666666666} \]

   13. fma-neg 99.1%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}} \]

   14. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776\right)}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)} \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776\right)}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776\right) \cdot {x}^{2}}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)} \]

   2. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.00408179012345679 + -0.027777777777777776\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}} \]

   3. fma-define 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right)} \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)} \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow2 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right) \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot x}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)} \]

    2. associate-/l* 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}\right)} \]

12. Applied egg-rr 99.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}\right)} \]

13. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.00408179012345679, -0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, -0.16666666666666666\right)}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.06388888888888888))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.06388888888888888)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.06388888888888888));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

6. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (tan x)))

C

double code(double x) {
	return x / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return x / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto \frac{x}{\tan x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 51.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.6% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024076 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))