2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.3% → 99.6%

Time: 36.9s

Alternatives: 16

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := 1 + t\_2\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_3, 0.16666666666666666 \cdot t\_2\right)\\ t_5 := \frac{\sin x}{\cos x}\\ t_6 := t\_3 \cdot t\_5\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(t\_4 + t\_0 \cdot \frac{-1 - t\_2}{t\_1}\right)\right) \cdot t\_5 + t\_6 \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) + \left(t\_0 \cdot \frac{t\_3}{t\_1} - t\_4\right), t\_6\right), t\_2\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ 1.0 t_2))
        (t_4 (fma -0.5 t_3 (* 0.16666666666666666 t_2)))
        (t_5 (/ (sin x) (cos x)))
        (t_6 (* t_3 t_5)))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (fma
      eps
      (fma
       eps
       (+
        (fma
         (- eps)
         (+
          (* (+ 0.16666666666666666 (+ t_4 (* t_0 (/ (- -1.0 t_2) t_1)))) t_5)
          (* t_6 -0.3333333333333333))
         -0.16666666666666666)
        (- (* t_0 (/ t_3 t_1)) t_4))
       t_6)
      t_2)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	double t_4 = fma(-0.5, t_3, (0.16666666666666666 * t_2));
	double t_5 = sin(x) / cos(x);
	double t_6 = t_3 * t_5;
	return eps * (1.0 + fma(eps, fma(eps, (fma(-eps, (((0.16666666666666666 + (t_4 + (t_0 * ((-1.0 - t_2) / t_1)))) * t_5) + (t_6 * -0.3333333333333333)), -0.16666666666666666) + ((t_0 * (t_3 / t_1)) - t_4)), t_6), t_2));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(1.0 + t_2)
	t_4 = fma(-0.5, t_3, Float64(0.16666666666666666 * t_2))
	t_5 = Float64(sin(x) / cos(x))
	t_6 = Float64(t_3 * t_5)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(eps, fma(eps, Float64(fma(Float64(-eps), Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 + Float64(t_4 + Float64(t_0 * Float64(Float64(-1.0 - t_2) / t_1)))) * t_5) + Float64(t_6 * -0.3333333333333333)), -0.16666666666666666) + Float64(Float64(t_0 * Float64(t_3 / t_1)) - t_4)), t_6), t_2)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(-0.5 * t$95$3 + N[(0.16666666666666666 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(t$95$3 * t$95$5), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(eps * N[(eps * N[(N[((-eps) * N[(N[(N[(0.16666666666666666 + N[(t$95$4 + N[(t$95$0 * N[(N[(-1.0 - t$95$2), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision] + N[(t$95$6 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$3 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + {\sin x}^{2} \cdot \frac{-1 - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) + \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := \frac{t\_0}{{\cos x}^{2}}\\ t_2 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - t\_1 \cdot -0.3333333333333333\\ t_3 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_0 \cdot {\cos x}^{-2}\right)}{\cos x} + \left(\left(\frac{\sin x \cdot t\_2}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot t\_3\right) - -0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)\right)\right) + \left(t\_1 + t\_2\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + t\_3\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (/ t_0 (pow (cos x) 2.0)))
        (t_2
         (-
          (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))
          (* t_1 -0.3333333333333333)))
        (t_3 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0))))
   (*
    eps
    (+
     t_1
     (+
      1.0
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (+
             (/
              (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 (* t_0 (pow (cos x) -2.0))))
              (cos x))
             (-
              (- (/ (* (sin x) t_2) (cos x)) (* -0.3333333333333333 t_3))
              (* -0.3333333333333333 (tan x))))))
          (+ t_1 t_2)))
        (+ (/ (sin x) (cos x)) t_3))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 / pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = (pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0)) - (t_1 * -0.3333333333333333);
	double t_3 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	return eps * (t_1 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + (t_0 * pow(cos(x), -2.0)))) / cos(x)) + ((((sin(x) * t_2) / cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * tan(x)))))) + (t_1 + t_2))) + ((sin(x) / cos(x)) + t_3)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = t_0 / (cos(x) ** 2.0d0)
    t_2 = ((sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)) - (t_1 * (-0.3333333333333333d0))
    t_3 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    code = eps * (t_1 + (1.0d0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333d0 + (t_0 * (cos(x) ** (-2.0d0))))) / cos(x)) + ((((sin(x) * t_2) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333d0) * t_3)) - ((-0.3333333333333333d0) * tan(x)))))) + (t_1 + t_2))) + ((sin(x) / cos(x)) + t_3)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0)) - (t_1 * -0.3333333333333333);
	double t_3 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	return eps * (t_1 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + (t_0 * Math.pow(Math.cos(x), -2.0)))) / Math.cos(x)) + ((((Math.sin(x) * t_2) / Math.cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * Math.tan(x)))))) + (t_1 + t_2))) + ((Math.sin(x) / Math.cos(x)) + t_3)))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = t_0 / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = (math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)) - (t_1 * -0.3333333333333333)
	t_3 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	return eps * (t_1 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((math.sin(x) * (0.3333333333333333 + (t_0 * math.pow(math.cos(x), -2.0)))) / math.cos(x)) + ((((math.sin(x) * t_2) / math.cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * math.tan(x)))))) + (t_1 + t_2))) + ((math.sin(x) / math.cos(x)) + t_3)))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 / (cos(x) ^ 2.0))
	t_2 = Float64(Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0)) - Float64(t_1 * -0.3333333333333333))
	t_3 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(t_0 * (cos(x) ^ -2.0)))) / cos(x)) + Float64(Float64(Float64(Float64(sin(x) * t_2) / cos(x)) - Float64(-0.3333333333333333 * t_3)) - Float64(-0.3333333333333333 * tan(x)))))) + Float64(t_1 + t_2))) + Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) + t_3))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = t_0 / (cos(x) ^ 2.0);
	t_2 = ((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0)) - (t_1 * -0.3333333333333333);
	t_3 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	tmp = eps * (t_1 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + (t_0 * (cos(x) ^ -2.0)))) / cos(x)) + ((((sin(x) * t_2) / cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * tan(x)))))) + (t_1 + t_2))) + ((sin(x) / cos(x)) + t_3)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$1 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$1 + N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(t$95$0 * N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 61.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 61.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. pow1 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. pow1 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}^{1}}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. cancel-sign-sub-inv 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\left(\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)}^{1}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    3. metadata-eval 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}^{1}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    4. *-un-lft-identity 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)}^{1}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    5. div-inv 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)}^{1}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    6. pow-flip 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + {\sin x}^{2} \cdot \color{blue}{{\cos x}^{\left(-2\right)}}\right)\right)}^{1}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    7. metadata-eval 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{\color{blue}{-2}}\right)\right)}^{1}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)}^{1}}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow1 99.7%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

13. Simplified 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

14. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}{\cos x} + \left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right) - -0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := 1 + t\_2\\ t_4 := t\_3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, t\_4 \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) + \left(t\_0 \cdot \frac{t\_3}{t\_1} - \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_3, 0.16666666666666666 \cdot t\_2\right)\right), t\_4\right), t\_2\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ 1.0 t_2))
        (t_4 (* t_3 (/ (sin x) (cos x)))))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (fma
      eps
      (fma
       eps
       (+
        (fma
         (- eps)
         (+ (* t_4 -0.3333333333333333) (* x -0.3333333333333333))
         -0.16666666666666666)
        (- (* t_0 (/ t_3 t_1)) (fma -0.5 t_3 (* 0.16666666666666666 t_2))))
       t_4)
      t_2)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	double t_4 = t_3 * (sin(x) / cos(x));
	return eps * (1.0 + fma(eps, fma(eps, (fma(-eps, ((t_4 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)), -0.16666666666666666) + ((t_0 * (t_3 / t_1)) - fma(-0.5, t_3, (0.16666666666666666 * t_2)))), t_4), t_2));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(1.0 + t_2)
	t_4 = Float64(t_3 * Float64(sin(x) / cos(x)))
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(eps, fma(eps, Float64(fma(Float64(-eps), Float64(Float64(t_4 * -0.3333333333333333) + Float64(x * -0.3333333333333333)), -0.16666666666666666) + Float64(Float64(t_0 * Float64(t_3 / t_1)) - fma(-0.5, t_3, Float64(0.16666666666666666 * t_2)))), t_4), t_2)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(eps * N[(eps * N[(N[((-eps) * N[(N[(t$95$4 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$3 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 * t$95$3 + N[(0.16666666666666666 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) + \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := 1 + t\_2\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(t\_2 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot t\_3}{\cos x} - \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{t\_0 \cdot t\_3}{t\_1}, \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_3, 0.16666666666666666 \cdot t\_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ 1.0 t_2)))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (+
      t_2
      (*
       eps
       (-
        (/ (* (sin x) t_3) (cos x))
        (*
         eps
         (+
          0.16666666666666666
          (fma
           -1.0
           (/ (* t_0 t_3) t_1)
           (fma -0.5 t_3 (* 0.16666666666666666 t_2))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	return eps * (1.0 + (t_2 + (eps * (((sin(x) * t_3) / cos(x)) - (eps * (0.16666666666666666 + fma(-1.0, ((t_0 * t_3) / t_1), fma(-0.5, t_3, (0.16666666666666666 * t_2)))))))));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(1.0 + t_2)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(t_2 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * t_3) / cos(x)) - Float64(eps * Float64(0.16666666666666666 + fma(-1.0, Float64(Float64(t_0 * t_3) / t_1), fma(-0.5, t_3, Float64(0.16666666666666666 * t_2))))))))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(t$95$2 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(0.16666666666666666 + N[(-1.0 * N[(N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision] + N[(-0.5 * t$95$3 + N[(0.16666666666666666 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - \left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - \left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \frac{\sin x \cdot \left(1 - \left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)\right) - \left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(t\_0 + \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))))
   (*
    eps
    (+
     t_0
     (+
      1.0
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          0.3333333333333333
          (+
           t_0
           (-
            (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))
            (* t_0 -0.3333333333333333)))))
        (+ (/ (sin x) (cos x)) (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	return eps * (t_0 + (1.0 + (eps * ((eps * (0.3333333333333333 + (t_0 + ((pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))))) + ((sin(x) / cos(x)) + (pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    code = eps * (t_0 + (1.0d0 + (eps * ((eps * (0.3333333333333333d0 + (t_0 + (((sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)) - (t_0 * (-0.3333333333333333d0)))))) + ((sin(x) / cos(x)) + ((sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * (t_0 + (1.0 + (eps * ((eps * (0.3333333333333333 + (t_0 + ((Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))))) + ((Math.sin(x) / Math.cos(x)) + (Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * (t_0 + (1.0 + (eps * ((eps * (0.3333333333333333 + (t_0 + ((math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))))) + ((math.sin(x) / math.cos(x)) + (math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	return Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(0.3333333333333333 + Float64(t_0 + Float64(Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0)) - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))))) + Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) + Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	tmp = eps * (t_0 + (1.0 + (eps * ((eps * (0.3333333333333333 + (t_0 + (((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))))) + ((sin(x) / cos(x)) + ((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$0 + N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(0.3333333333333333 + N[(t$95$0 + N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 61.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 61.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{-2}\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(t\_0 \cdot t\_1 + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_1, 1\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0)) (t_1 (pow (cos x) -2.0)))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (+
      (* t_0 t_1)
      (* eps (fma eps 0.3333333333333333 (* (tan x) (fma t_0 t_1 1.0)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), -2.0);
	return eps * (1.0 + ((t_0 * t_1) + (eps * fma(eps, 0.3333333333333333, (tan(x) * fma(t_0, t_1, 1.0))))));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ -2.0
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(t_0 * t_1) + Float64(eps * fma(eps, 0.3333333333333333, Float64(tan(x) * fma(t_0, t_1, 1.0)))))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(eps * 0.3333333333333333 + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. tan-quot 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\tan x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \color{blue}{\tan x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   4. +-commutative 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   5. div-inv 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \left(\color{blue}{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{{\cos x}^{2}}} + 1\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   6. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, \frac{1}{{\cos x}^{2}}, 1\right)}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   7. pow-flip 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, \color{blue}{{\cos x}^{\left(-2\right)}}, 1\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   8. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{\color{blue}{-2}}, 1\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   9. div-inv 99.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right) + \color{blue}{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{{\cos x}^{2}}}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}\right) \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2} + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \tan x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(1 + t\_0\right)}{\cos x} + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+ (/ (* (sin x) (+ 1.0 t_0)) (cos x)) (* eps 0.3333333333333333))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	return eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (((sin(x) * (1.0 + t_0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    code = eps * (1.0d0 + (t_0 + (eps * (((sin(x) * (1.0d0 + t_0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (((Math.sin(x) * (1.0 + t_0)) / Math.cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (((math.sin(x) * (1.0 + t_0)) / math.cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(1.0 + t_0)) / cos(x)) + Float64(eps * 0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	tmp = eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (((sin(x) * (1.0 + t_0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot t\_0}{\cos x} - \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))))
   (*
    eps
    (+
     t_0
     (* eps (- (/ (* (sin x) t_0) (cos x)) (* eps -0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 + (pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0));
	return eps * (t_0 + (eps * (((sin(x) * t_0) / cos(x)) - (eps * -0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = 1.0d0 + ((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0))
    code = eps * (t_0 + (eps * (((sin(x) * t_0) / cos(x)) - (eps * (-0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 + (Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0));
	return eps * (t_0 + (eps * (((Math.sin(x) * t_0) / Math.cos(x)) - (eps * -0.3333333333333333))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = 1.0 + (math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0))
	return eps * (t_0 + (eps * (((math.sin(x) * t_0) / math.cos(x)) - (eps * -0.3333333333333333))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)))
	return Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * t_0) / cos(x)) - Float64(eps * -0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = 1.0 + ((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0));
	tmp = eps * (t_0 + (eps * (((sin(x) * t_0) / cos(x)) - (eps * -0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in eps around -inf 36.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{\varepsilon} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{2}}{\varepsilon \cdot {\cos x}^{2}}\right)}{\varepsilon} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 99.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+ 1.0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
   (* eps (+ (/ (sin x) (cos x)) (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0))) + (eps * ((sin(x) / cos(x)) + (pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + ((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0))) + (eps * ((sin(x) / cos(x)) + ((sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0))) + (eps * ((Math.sin(x) / Math.cos(x)) + (Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + (math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0))) + (eps * ((math.sin(x) / math.cos(x)) + (math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))) + Float64(eps * Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) + Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + ((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))) + (eps * ((sin(x) / cos(x)) + ((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 61.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 61.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   2. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right)} + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   4. *-lft-identity 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

   5. associate-+l+ 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right) + \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 10: 99.0% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (fma
    eps
    (fma eps 0.3333333333333333 (* (/ (sin x) (cos x)) (+ 1.0 (pow x 2.0))))
    (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + fma(eps, fma(eps, 0.3333333333333333, ((sin(x) / cos(x)) * (1.0 + pow(x, 2.0)))), (pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0))));
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(eps, fma(eps, 0.3333333333333333, Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) * Float64(1.0 + (x ^ 2.0)))), Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(eps * N[(eps * 0.3333333333333333 + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \left(1 + \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 98.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

   2. mul-1-neg 98.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. remove-double-neg 98.5%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 12: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x\right), \varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma x (* eps (+ eps x)) (+ eps (* 0.3333333333333333 (pow eps 3.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(x, (eps * (eps + x)), (eps + (0.3333333333333333 * pow(eps, 3.0))));
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(x, Float64(eps * Float64(eps + x)), Float64(eps + Float64(0.3333333333333333 * (eps ^ 3.0))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(x * N[(eps * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps + N[(0.3333333333333333 * N[Power[eps, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)} \]

   2. fma-define 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}, \varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)} \]

   3. unpow2 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \varepsilon}, \varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)}, \varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \color{blue}{1 \cdot \varepsilon + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot \varepsilon}\right) \]

   6. *-commutative 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon \cdot 1} + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   7. *-rgt-identity 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon} + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   8. associate-*r* 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \varepsilon + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

   9. unpow2 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)} \cdot \varepsilon\right)\right) \]

   10. unpow3 97.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{3}}\right) \]

9. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right), \varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{3}\right)} \]

10. Final simplification 97.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x\right), \varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{3}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 98.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (+ (* 0.3333333333333333 (pow eps 2.0)) (* x (+ eps x))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * pow(eps, 2.0)) + (x * (eps + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((0.3333333333333333d0 * (eps ** 2.0d0)) + (x * (eps + x))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * Math.pow(eps, 2.0)) + (x * (eps + x))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * math.pow(eps, 2.0)) + (x * (eps + x))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + Float64(x * Float64(eps + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + (x * (eps + x))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)}\right) \]

8. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 97.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (+ (* 0.3333333333333333 (pow eps 2.0)) (* eps x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * pow(eps, 2.0)) + (eps * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((0.3333333333333333d0 * (eps ** 2.0d0)) + (eps * x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * Math.pow(eps, 2.0)) + (eps * x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * math.pow(eps, 2.0)) + (eps * x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + Float64(eps * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + (eps * x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333}, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot x\right)}\right) \]

8. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot x\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 97.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (tan eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan(eps);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan(eps)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan(eps);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan(eps)

Julia

function code(x, eps)
	return tan(eps)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan(eps);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[Tan[eps], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan \varepsilon} \]

   2. *-un-lft-identity 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \tan \varepsilon} \]

5. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \tan \varepsilon} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan \varepsilon} \]

7. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan \varepsilon} \]

8. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \tan \varepsilon \]
9. Add Preprocessing

Alternative 16: 97.8% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 61.8%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

4. Taylor expanded in eps around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]

5. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \varepsilon \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024075 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))