2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.9% → 98.5%

Time: 25.4s

Alternatives: 5

Speedup: 1.9×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(t\_0 + \sqrt[3]{x}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ (+ 1.0 (- x x)) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ t_0 (cbrt x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (t_0 + cbrt(x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + (Math.cbrt(x) * (t_0 + Math.cbrt(x))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(t_0 + cbrt(x)))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.3%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

4. Applied egg-rr 4.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. flip3-- 7.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. div-inv 7.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. rem-cube-cbrt 6.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 6.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. rem-cube-cbrt 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. pow2 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   8. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   9. distribute-rgt-out 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   10. +-commutative 9.7%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)} \]

6. Applied egg-rr 9.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x - x\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   2. +-inverses 98.5%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{0}\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   4. associate-*r/ 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + 0\right)} \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   6. +-inverses 98.5%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \color{blue}{\left(x - x\right)}\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

8. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma (cbrt x) 0.3333333333333333 (/ -0.1111111111111111 (pow (cbrt x) 2.0)))
  x))

C

double code(double x) {
	return fma(cbrt(x), 0.3333333333333333, (-0.1111111111111111 / pow(cbrt(x), 2.0))) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(cbrt(x), 0.3333333333333333, Float64(-0.1111111111111111 / (cbrt(x) ^ 2.0))) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + N[(-0.1111111111111111 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.3%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 7.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. +-commutative 98.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}}{x} \]

   3. distribute-rgt-out 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)}}{x} \]

   4. metadata-eval 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111}}{x} \]

7. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111}{x}\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 7.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111}{x}\right)} - 1} \]

   3. fma-define 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)} - 1 \]

   4. cbrt-div 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}} \cdot -0.1111111111111111\right)}{x}\right)} - 1 \]

   5. metadata-eval 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111\right)}{x}\right)} - 1 \]

   6. unpow2 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \cdot -0.1111111111111111\right)}{x}\right)} - 1 \]

   7. cbrt-prod 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot -0.1111111111111111\right)}{x}\right)} - 1 \]

   8. associate-*l/ 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\frac{1 \cdot -0.1111111111111111}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)}{x}\right)} - 1 \]

   9. metadata-eval 7.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{\color{blue}{-0.1111111111111111}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}{x}\right)} - 1 \]

   10. pow2 7.9%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}}\right)}{x}\right)} - 1 \]

9. Applied egg-rr 7.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}\right)} - 1} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 7.9%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}\right)} + \left(-1\right)} \]

    2. metadata-eval 7.9%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}\right)} + \color{blue}{-1} \]

    3. +-commutative 7.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}\right)}} \]

    4. log1p-undefine 7.9%

       \[\leadsto -1 + e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}\right)}} \]

    5. rem-exp-log 7.9%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}\right)} \]

    6. associate-+r+ 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + 1\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}} \]

    7. metadata-eval 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{0} + \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x} \]

    8. +-lft-identity 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}} \]

    9. *-lft-identity 98.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}{x} \]

    10. *-lft-identity 98.0%

        \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}{x} \]

    11. fma-undefine 98.0%

        \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}}}{x} \]

    12. *-commutative 98.0%

        \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333} + \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}}{x} \]

    13. fma-define 98.0%

        \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}}{x} \]

11. Simplified 98.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x}} \]

12. Final simplification 98.0%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{x} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* (cbrt x) 0.3333333333333333)
   (* -0.1111111111111111 (pow x -0.6666666666666666)))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((cbrt(x) * 0.3333333333333333) + (-0.1111111111111111 * pow(x, -0.6666666666666666))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333) + (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -0.6666666666666666))) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333) + Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -0.6666666666666666))) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.3%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 7.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. +-commutative 98.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}}{x} \]

   3. distribute-rgt-out 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)}}{x} \]

   4. metadata-eval 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111}}{x} \]

7. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111}{x} \]

   2. pow-flip 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111}{x} \]

   3. pow-pow 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111}{x} \]

   4. metadata-eval 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111}{x} \]

   5. metadata-eval 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111}{x} \]

9. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111}{x} \]

10. Final simplification 98.0%

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}}{x} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* (cbrt x) 0.3333333333333333) (/ 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return (cbrt(x) * 0.3333333333333333) * (1.0 / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333) * (1.0 / x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333) * Float64(1.0 / x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.3%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 7.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. +-commutative 98.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}}{x} \]

   3. distribute-rgt-out 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)}}{x} \]

   4. metadata-eval 98.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111}}{x} \]

7. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-inv 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{x}} \]

   2. fma-define 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111\right)} \cdot \frac{1}{x} \]

   3. cbrt-div 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}} \cdot -0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{x} \]

   4. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{x} \]

   5. unpow2 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \cdot -0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{x} \]

   6. cbrt-prod 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot -0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{x} \]

   7. associate-*l/ 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\frac{1 \cdot -0.1111111111111111}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \cdot \frac{1}{x} \]

   8. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{\color{blue}{-0.1111111111111111}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}\right) \cdot \frac{1}{x} \]

   9. pow2 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}}\right) \cdot \frac{1}{x} \]

9. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x}, \frac{-0.1111111111111111}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right) \cdot \frac{1}{x}} \]

10. Taylor expanded in x around inf 96.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \frac{1}{x} \]

11. Final simplification 96.9%

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{1}{x} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 5.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.3%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.4%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Final simplification 5.4%

   \[\leadsto 1 + \sqrt[3]{x} \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024074 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))