ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.5% → 99.4%

Time: 22.4s

Alternatives: 8

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* x (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (sqrt 0.16666666666666666))))
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666)))) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * sqrt(0.16666666666666666d0)))) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666)))) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (x * (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * math.sqrt(0.16666666666666666)))) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666)))) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666)))) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   2. pow2 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   4. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   5. sqrt-pow1 99.4%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   6. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   7. pow1 99.4%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

    2. *-commutative 99.4%

       \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

    3. associate-*r* 99.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

11. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

12. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (* x (sqrt 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * math.sqrt(0.16666666666666666))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   2. pow2 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   4. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   5. sqrt-pow1 99.4%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   6. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   7. pow1 99.4%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

    2. associate-*r* 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

11. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

12. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma 0.16666666666666666 (pow x 2.0) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* -0.06388888888888888 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (pow x 2.0) (/ 0.16666666666666666 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	return x * (pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 / tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / Math.tan(x)));
}

Python

def code(x):
	return x * (math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / math.tan(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 / tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}} \]

   2. inv-pow 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1}} \]

   3. *-un-lft-identity 84.2%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot \tan x}}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1} \]

   4. times-frac 84.2%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{0.16666666666666666} \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}}^{-1} \]

   5. metadata-eval 84.2%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{6} \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}^{-1} \]

5. Applied egg-rr 84.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}^{-1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

   2. associate-/r* 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{6}}{\frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

   3. metadata-eval 84.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666}}{\frac{\tan x}{{x}^{3}}} \]

7. Simplified 84.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{3}} \]

   2. pow3 84.2%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   3. pow2 84.2%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) \]

   4. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

9. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

10. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 4.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (tan x)))

C

double code(double x) {
	return x / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return x / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto \frac{x}{\tan x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024067 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))