bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.3% → 97.4%

Time: 34.7s

Alternatives: 9

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -2.7812699876729904e+228

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (expm1
  (log1p
   (log1p
    (fma
     (pow x 4.0)
     (fma
      (pow x 2.0)
      (fma
       (pow x 2.0)
       (fma (pow x 2.0) 2.505210838544172e-8 2.7557319223985893e-6)
       0.0001984126984126984)
      0.008333333333333333)
     (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	return expm1(log1p(log1p(fma(pow(x, 4.0), fma(pow(x, 2.0), fma(pow(x, 2.0), fma(pow(x, 2.0), 2.505210838544172e-8, 2.7557319223985893e-6), 0.0001984126984126984), 0.008333333333333333), (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666)))));
}

Julia

function code(x)
	return expm1(log1p(log1p(fma((x ^ 4.0), fma((x ^ 2.0), fma((x ^ 2.0), fma((x ^ 2.0), 2.505210838544172e-8, 2.7557319223985893e-6), 0.0001984126984126984), 0.008333333333333333), Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(Exp[N[Log[1 + N[Log[1 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 2.505210838544172e-8 + 2.7557319223985893e-6), $MachinePrecision] + 0.0001984126984126984), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 47.6%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + 2.505210838544172 \cdot 10^{-8} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 47.6%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 47.6%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + {x}^{2} \cdot 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + {x}^{2} \cdot 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + {x}^{2} \cdot 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)} - 1} \]

7. Applied egg-rr 47.6%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)\right)\right)} - 1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-define 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   2. fma-undefine 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right)\right) + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right)} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   5. fma-define 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

   6. pow-sqr 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{4}}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

10. Final simplification 97.9%

    \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}, 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}\right), 0.0001984126984126984\right), 0.008333333333333333\right), {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 2.1377799155576935 \cdot 10^{-6} - 2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (-
     (*
      (pow x 2.0)
      (+
       0.0003527336860670194
       (*
        (pow x 2.0)
        (- (* (pow x 2.0) 2.1377799155576935e-6) 2.6455026455026456e-5))))
     0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * (0.0003527336860670194 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 2.1377799155576935e-6) - 2.6455026455026456e-5)))) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (0.0003527336860670194d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 2.1377799155576935d-6) - 2.6455026455026456d-5)))) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * (0.0003527336860670194 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 2.1377799155576935e-6) - 2.6455026455026456e-5)))) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * (0.0003527336860670194 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 2.1377799155576935e-6) - 2.6455026455026456e-5)))) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 2.1377799155576935e-6) - 2.6455026455026456e-5)))) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * (0.0003527336860670194 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 2.1377799155576935e-6) - 2.6455026455026456e-5)))) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 2.1377799155576935e-6), $MachinePrecision] - 2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + {x}^{2} \cdot \left(2.1377799155576935 \cdot 10^{-6} \cdot {x}^{2} - 2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 2.1377799155576935 \cdot 10^{-6} - 2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.0003527336860670194) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.0003527336860670194d0) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (pow x 2.0) 0.16666666666666666 (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)))

C

double code(double x) {
	return fma(pow(x, 2.0), 0.16666666666666666, (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556));
}

Julia

function code(x)
	return fma((x ^ 2.0), 0.16666666666666666, Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 47.2%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 47.2%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right) \]

5. Simplified 47.2%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. fma-define 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{2} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   3. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right) \]

   4. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. pow-sqr 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

   6. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{\color{blue}{4}} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

9. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

6. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666) (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0) + ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666) + (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666) + Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666) + ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 47.2%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 47.2%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right) \]

5. Simplified 47.2%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. fma-define 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{2} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   3. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right) \]

   4. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. pow-sqr 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

   6. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{\color{blue}{4}} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

10. Applied egg-rr 97.1%

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

11. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 96.4%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.2% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 46.9%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 46.9%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

5. Simplified 46.9%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

8. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
9. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 96.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 46.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - 1} \]

   3. log1p-undefine 46.9%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} - 1 \]

   4. rem-exp-log 46.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - 1 \]

10. Applied egg-rr 46.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - 1} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate--l+ 46.9%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 - 1\right)} \]

12. Simplified 46.9%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 - 1\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-+r- 46.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) - 1} \]

    2. add-exp-log 46.9%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} - 1 \]

    3. log1p-undefine 46.9%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} - 1 \]

    4. expm1-undefine 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

    5. expm1-log1p-u 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

    6. *-commutative 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

    7. unpow2 96.4%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

    8. associate-*r* 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

14. Applied egg-rr 96.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

15. Final simplification 96.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 9: 49.6% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 47.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 47.6%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + 2.505210838544172 \cdot 10^{-8} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 47.6%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 47.6%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 + {x}^{2} \cdot \left(2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} + {x}^{2} \cdot 2.505210838544172 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around inf 1.5%

   \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{{x}^{10} \cdot \left(2.505210838544172 \cdot 10^{-8} + \left(\frac{0.0001984126984126984}{{x}^{4}} + 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 1.5%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{10} \cdot \color{blue}{\left(\left(2.505210838544172 \cdot 10^{-8} + \frac{0.0001984126984126984}{{x}^{4}}\right) + 2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. associate-*r/ 1.5%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{10} \cdot \left(\left(2.505210838544172 \cdot 10^{-8} + \frac{0.0001984126984126984}{{x}^{4}}\right) + \color{blue}{\frac{2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} \cdot 1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   3. metadata-eval 1.5%

      \[\leadsto \log \left(1 + {x}^{10} \cdot \left(\left(2.505210838544172 \cdot 10^{-8} + \frac{0.0001984126984126984}{{x}^{4}}\right) + \frac{\color{blue}{2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}}}{{x}^{2}}\right)\right) \]

8. Simplified 1.5%

   \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{{x}^{10} \cdot \left(\left(2.505210838544172 \cdot 10^{-8} + \frac{0.0001984126984126984}{{x}^{4}}\right) + \frac{2.7557319223985893 \cdot 10^{-6}}{{x}^{2}}\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0 45.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

10. Final simplification 45.1%

    \[\leadsto 0 \]
11. Add Preprocessing

Developer target: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024055 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))