2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.3% → 99.7%

Time: 1.5min

Alternatives: 6

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ t_1 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ t_2 := -0.3333333333333333 \cdot t\_1\\ t_3 := \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_0\right)}{\cos x}\\ t_4 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ t_5 := -0.3333333333333333 \cdot \tan x\\ t_6 := -0.3333333333333333 \cdot t\_0\\ t_7 := \frac{\sin x \cdot \left(t\_4 - t\_6\right)}{\cos x}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_3 - \left(t\_5 + \left(t\_2 - t\_7\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(t\_6 - \left(\left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(t\_7 - t\_2\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(t\_3 - t\_5\right)}{\cos x}\right) - t\_0 \cdot -0.13333333333333333\right) - -0.3333333333333333 \cdot t\_4\right)\right) - 0.13333333333333333\right)\right)\right) + \left(t\_0 - \left(t\_6 - t\_4\right)\right)\right) + \left(t\_1 + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
        (t_1 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))
        (t_2 (* -0.3333333333333333 t_1))
        (t_3 (/ (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 t_0)) (cos x)))
        (t_4 (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0)))
        (t_5 (* -0.3333333333333333 (tan x)))
        (t_6 (* -0.3333333333333333 t_0))
        (t_7 (/ (* (sin x) (- t_4 t_6)) (cos x))))
   (*
    eps
    (+
     t_0
     (+
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (-
             (- t_3 (+ t_5 (- t_2 t_7)))
             (*
              eps
              (-
               (-
                t_6
                (-
                 (-
                  (+
                   (/ (* (sin x) (- t_7 t_2)) (cos x))
                   (/ (* (sin x) (- t_3 t_5)) (cos x)))
                  (* t_0 -0.13333333333333333))
                 (* -0.3333333333333333 t_4)))
               0.13333333333333333)))))
          (- t_0 (- t_6 t_4))))
        (+ t_1 (/ (sin x) (cos x)))))
      1.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	double t_1 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	double t_2 = -0.3333333333333333 * t_1;
	double t_3 = (sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / cos(x);
	double t_4 = pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0);
	double t_5 = -0.3333333333333333 * tan(x);
	double t_6 = -0.3333333333333333 * t_0;
	double t_7 = (sin(x) * (t_4 - t_6)) / cos(x);
	return eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((t_3 - (t_5 + (t_2 - t_7))) - (eps * ((t_6 - (((((sin(x) * (t_7 - t_2)) / cos(x)) + ((sin(x) * (t_3 - t_5)) / cos(x))) - (t_0 * -0.13333333333333333)) - (-0.3333333333333333 * t_4))) - 0.13333333333333333))))) + (t_0 - (t_6 - t_4)))) + (t_1 + (sin(x) / cos(x))))) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: t_7
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    t_1 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    t_2 = (-0.3333333333333333d0) * t_1
    t_3 = (sin(x) * (0.3333333333333333d0 + t_0)) / cos(x)
    t_4 = (sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)
    t_5 = (-0.3333333333333333d0) * tan(x)
    t_6 = (-0.3333333333333333d0) * t_0
    t_7 = (sin(x) * (t_4 - t_6)) / cos(x)
    code = eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * ((t_3 - (t_5 + (t_2 - t_7))) - (eps * ((t_6 - (((((sin(x) * (t_7 - t_2)) / cos(x)) + ((sin(x) * (t_3 - t_5)) / cos(x))) - (t_0 * (-0.13333333333333333d0))) - ((-0.3333333333333333d0) * t_4))) - 0.13333333333333333d0))))) + (t_0 - (t_6 - t_4)))) + (t_1 + (sin(x) / cos(x))))) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	double t_2 = -0.3333333333333333 * t_1;
	double t_3 = (Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / Math.cos(x);
	double t_4 = Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0);
	double t_5 = -0.3333333333333333 * Math.tan(x);
	double t_6 = -0.3333333333333333 * t_0;
	double t_7 = (Math.sin(x) * (t_4 - t_6)) / Math.cos(x);
	return eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((t_3 - (t_5 + (t_2 - t_7))) - (eps * ((t_6 - (((((Math.sin(x) * (t_7 - t_2)) / Math.cos(x)) + ((Math.sin(x) * (t_3 - t_5)) / Math.cos(x))) - (t_0 * -0.13333333333333333)) - (-0.3333333333333333 * t_4))) - 0.13333333333333333))))) + (t_0 - (t_6 - t_4)))) + (t_1 + (Math.sin(x) / Math.cos(x))))) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	t_2 = -0.3333333333333333 * t_1
	t_3 = (math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / math.cos(x)
	t_4 = math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)
	t_5 = -0.3333333333333333 * math.tan(x)
	t_6 = -0.3333333333333333 * t_0
	t_7 = (math.sin(x) * (t_4 - t_6)) / math.cos(x)
	return eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((t_3 - (t_5 + (t_2 - t_7))) - (eps * ((t_6 - (((((math.sin(x) * (t_7 - t_2)) / math.cos(x)) + ((math.sin(x) * (t_3 - t_5)) / math.cos(x))) - (t_0 * -0.13333333333333333)) - (-0.3333333333333333 * t_4))) - 0.13333333333333333))))) + (t_0 - (t_6 - t_4)))) + (t_1 + (math.sin(x) / math.cos(x))))) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	t_1 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	t_2 = Float64(-0.3333333333333333 * t_1)
	t_3 = Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + t_0)) / cos(x))
	t_4 = Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))
	t_5 = Float64(-0.3333333333333333 * tan(x))
	t_6 = Float64(-0.3333333333333333 * t_0)
	t_7 = Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_4 - t_6)) / cos(x))
	return Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(t_3 - Float64(t_5 + Float64(t_2 - t_7))) - Float64(eps * Float64(Float64(t_6 - Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_7 - t_2)) / cos(x)) + Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_3 - t_5)) / cos(x))) - Float64(t_0 * -0.13333333333333333)) - Float64(-0.3333333333333333 * t_4))) - 0.13333333333333333))))) + Float64(t_0 - Float64(t_6 - t_4)))) + Float64(t_1 + Float64(sin(x) / cos(x))))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	t_1 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	t_2 = -0.3333333333333333 * t_1;
	t_3 = (sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / cos(x);
	t_4 = (sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0);
	t_5 = -0.3333333333333333 * tan(x);
	t_6 = -0.3333333333333333 * t_0;
	t_7 = (sin(x) * (t_4 - t_6)) / cos(x);
	tmp = eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((t_3 - (t_5 + (t_2 - t_7))) - (eps * ((t_6 - (((((sin(x) * (t_7 - t_2)) / cos(x)) + ((sin(x) * (t_3 - t_5)) / cos(x))) - (t_0 * -0.13333333333333333)) - (-0.3333333333333333 * t_4))) - 0.13333333333333333))))) + (t_0 - (t_6 - t_4)))) + (t_1 + (sin(x) / cos(x))))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.3333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(-0.3333333333333333 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$4 - t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$0 + N[(N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(t$95$3 - N[(t$95$5 + N[(t$95$2 - t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(t$95$6 - N[(N[(N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$7 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * -0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 - N[(t$95$6 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 61.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. pow1 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. tan-quot 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. pow1 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow1 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

13. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

14. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} - \frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(\left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}{\cos x}\right) - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.13333333333333333\right) - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right) - 0.13333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + 1\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ t_1 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ t_2 := -0.3333333333333333 \cdot t\_1\\ t_3 := \frac{\sin x}{\cos x}\\ t_4 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_1\right)}{\cos x} + \left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(t\_4 - t\_2\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot t\_0\right) - -0.3333333333333333 \cdot t\_3\right)\right)\right) + \left(t\_1 - \left(t\_2 - t\_4\right)\right)\right) + \left(t\_0 + t\_3\right)\right) + 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))
        (t_1 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
        (t_2 (* -0.3333333333333333 t_1))
        (t_3 (/ (sin x) (cos x)))
        (t_4 (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))))
   (*
    eps
    (+
     t_1
     (+
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (+
             (/ (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 t_1)) (cos x))
             (-
              (-
               (/ (* (sin x) (- t_4 t_2)) (cos x))
               (* -0.3333333333333333 t_0))
              (* -0.3333333333333333 t_3)))))
          (- t_1 (- t_2 t_4))))
        (+ t_0 t_3)))
      1.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	double t_1 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = -0.3333333333333333 * t_1;
	double t_3 = sin(x) / cos(x);
	double t_4 = pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0);
	return eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_4 - t_2)) / cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_0)) - (-0.3333333333333333 * t_3))))) + (t_1 - (t_2 - t_4)))) + (t_0 + t_3))) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    t_0 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    t_1 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    t_2 = (-0.3333333333333333d0) * t_1
    t_3 = sin(x) / cos(x)
    t_4 = (sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)
    code = eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333d0 + t_1)) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_4 - t_2)) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333d0) * t_0)) - ((-0.3333333333333333d0) * t_3))))) + (t_1 - (t_2 - t_4)))) + (t_0 + t_3))) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = -0.3333333333333333 * t_1;
	double t_3 = Math.sin(x) / Math.cos(x);
	double t_4 = Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0);
	return eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / Math.cos(x)) + ((((Math.sin(x) * (t_4 - t_2)) / Math.cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_0)) - (-0.3333333333333333 * t_3))))) + (t_1 - (t_2 - t_4)))) + (t_0 + t_3))) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	t_1 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = -0.3333333333333333 * t_1
	t_3 = math.sin(x) / math.cos(x)
	t_4 = math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)
	return eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / math.cos(x)) + ((((math.sin(x) * (t_4 - t_2)) / math.cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_0)) - (-0.3333333333333333 * t_3))))) + (t_1 - (t_2 - t_4)))) + (t_0 + t_3))) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	t_1 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	t_2 = Float64(-0.3333333333333333 * t_1)
	t_3 = Float64(sin(x) / cos(x))
	t_4 = Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))
	return Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + t_1)) / cos(x)) + Float64(Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_4 - t_2)) / cos(x)) - Float64(-0.3333333333333333 * t_0)) - Float64(-0.3333333333333333 * t_3))))) + Float64(t_1 - Float64(t_2 - t_4)))) + Float64(t_0 + t_3))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	t_1 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	t_2 = -0.3333333333333333 * t_1;
	t_3 = sin(x) / cos(x);
	t_4 = (sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0);
	tmp = eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_4 - t_2)) / cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_0)) - (-0.3333333333333333 * t_3))))) + (t_1 - (t_2 - t_4)))) + (t_0 + t_3))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.3333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$1 + N[(N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$4 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[(t$95$2 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 61.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right) - -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + 1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

   2. mul-1-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. remove-double-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (pow x 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

   2. mul-1-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. remove-double-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \varepsilon} \]

8. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + {x}^{2} \cdot \varepsilon} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (tan eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan(eps);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan(eps)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan(eps);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan(eps)

Julia

function code(x, eps)
	return tan(eps)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan(eps);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[Tan[eps], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan \varepsilon} \]

   2. *-un-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \tan \varepsilon} \]

5. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \tan \varepsilon} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan \varepsilon} \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan \varepsilon} \]

8. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \tan \varepsilon \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 61.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

4. Taylor expanded in eps around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024055 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))