invcot (example 3.9)

Percentage Accurate: 6.4% → 99.5%

Time: 16.2s

Alternatives: 5

Speedup: 35.7×

Specification

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + {x}^{2} \cdot -0.007407407407407408} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (fma 1.0973936899862826e-5 (pow x 6.0) 0.037037037037037035)
  (/
   x
   (+
    (fma (pow x 4.0) 0.0004938271604938272 0.1111111111111111)
    (* (pow x 2.0) -0.007407407407407408)))))

C

double code(double x) {
	return fma(1.0973936899862826e-5, pow(x, 6.0), 0.037037037037037035) * (x / (fma(pow(x, 4.0), 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111) + (pow(x, 2.0) * -0.007407407407407408)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(1.0973936899862826e-5, (x ^ 6.0), 0.037037037037037035) * Float64(x / Float64(fma((x ^ 4.0), 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111) + Float64((x ^ 2.0) * -0.007407407407407408))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0973936899862826e-5 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] + 0.037037037037037035), $MachinePrecision] * N[(x / N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.0004938271604938272 + 0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.007407407407407408), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 98.0%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{{0.3333333333333333}^{3} + {\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]

   2. associate-*r/ 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left({0.3333333333333333}^{3} + {\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]

   3. pow3 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left({0.3333333333333333}^{3} + \color{blue}{\left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   4. +-commutative 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) + {0.3333333333333333}^{3}\right)}}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   5. pow3 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}} + {0.3333333333333333}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   6. unpow-prod-down 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{0.022222222222222223}^{3} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3}} + {0.3333333333333333}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   7. metadata-eval 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + {0.3333333333333333}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + \color{blue}{0.037037037037037035}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right)}{\color{blue}{0.1111111111111111} + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right)}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right) \cdot x}}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. associate-/l* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {\left({x}^{2}\right)}^{3}, 0.037037037037037035\right)} \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   5. cube-prod 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, \color{blue}{{x}^{3} \cdot {x}^{3}}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   6. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   7. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{\color{blue}{6}}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   8. associate-+r- 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 + {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}}} \]

   9. sub-neg 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 + {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) + \left(-0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   10. +-commutative 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 + 0.1111111111111111\right)} + \left(-0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   11. fma-define 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right)} + \left(-0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   12. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + \left(-\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.007407407407407408}\right)} \]

   13. distribute-rgt-neg-in 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.007407407407407408\right)}} \]

   14. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + {x}^{2} \cdot \color{blue}{-0.007407407407407408}} \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + {x}^{2} \cdot -0.007407407407407408}} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + {x}^{2} \cdot -0.007407407407407408} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 0.1111111111111111}{0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot -0.022222222222222223} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* x 0.1111111111111111)
  (+ 0.3333333333333333 (* (pow x 2.0) -0.022222222222222223))))

C

double code(double x) {
	return (x * 0.1111111111111111) / (0.3333333333333333 + (pow(x, 2.0) * -0.022222222222222223));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 0.1111111111111111d0) / (0.3333333333333333d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.022222222222222223d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 0.1111111111111111) / (0.3333333333333333 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.022222222222222223));
}

Python

def code(x):
	return (x * 0.1111111111111111) / (0.3333333333333333 + (math.pow(x, 2.0) * -0.022222222222222223))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 0.1111111111111111) / Float64(0.3333333333333333 + Float64((x ^ 2.0) * -0.022222222222222223)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 0.1111111111111111) / (0.3333333333333333 + ((x ^ 2.0) * -0.022222222222222223));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 0.1111111111111111), $MachinePrecision] / N[(0.3333333333333333 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.022222222222222223), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   2. flip-+ 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}}} \cdot x \]

   3. associate-*l/ 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}}} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{0.1111111111111111} - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   5. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   6. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - \left({x}^{2} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.022222222222222223\right)}\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   7. swap-sqr 99.5%

      \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   8. pow-prod-up 99.5%

      \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   10. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272}\right) \cdot x}{0.3333333333333333 - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

   11. cancel-sign-sub-inv 99.5%

       \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot x}{\color{blue}{0.3333333333333333 + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{2}}} \]

   12. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \frac{\left(0.1111111111111111 - {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot x}{0.3333333333333333 + \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{2}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.1111111111111111 - {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot x}{0.3333333333333333 + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot x}}{0.3333333333333333 + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot 0.1111111111111111}}{0.3333333333333333 + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

8. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot 0.1111111111111111}}{0.3333333333333333 + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 0.1111111111111111}{0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot -0.022222222222222223} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot 0.022222222222222223\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ 0.3333333333333333 (* (pow x 2.0) 0.022222222222222223))))

C

double code(double x) {
	return x * (0.3333333333333333 + (pow(x, 2.0) * 0.022222222222222223));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.3333333333333333d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.022222222222222223d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.3333333333333333 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.022222222222222223));
}

Python

def code(x):
	return x * (0.3333333333333333 + (math.pow(x, 2.0) * 0.022222222222222223))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64((x ^ 2.0) * 0.022222222222222223)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.3333333333333333 + ((x ^ 2.0) * 0.022222222222222223));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.022222222222222223), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)} \]

4. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot 0.022222222222222223\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.1% accurate, 21.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.037037037037037035 \cdot \frac{x}{0.1111111111111111} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.037037037037037035 (/ x 0.1111111111111111)))

C

double code(double x) {
	return 0.037037037037037035 * (x / 0.1111111111111111);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.037037037037037035d0 * (x / 0.1111111111111111d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.037037037037037035 * (x / 0.1111111111111111);
}

Python

def code(x):
	return 0.037037037037037035 * (x / 0.1111111111111111)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.037037037037037035 * Float64(x / 0.1111111111111111))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.037037037037037035 * (x / 0.1111111111111111);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.037037037037037035 * N[(x / 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 98.0%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{{0.3333333333333333}^{3} + {\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]

   2. associate-*r/ 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left({0.3333333333333333}^{3} + {\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]

   3. pow3 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left({0.3333333333333333}^{3} + \color{blue}{\left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   4. +-commutative 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) + {0.3333333333333333}^{3}\right)}}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   5. pow3 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}} + {0.3333333333333333}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   6. unpow-prod-down 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{0.022222222222222223}^{3} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3}} + {0.3333333333333333}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   7. metadata-eval 98.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + {0.3333333333333333}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + \color{blue}{0.037037037037037035}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right)}{\color{blue}{0.1111111111111111} + \left(\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right)}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right) \cdot x}}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. associate-/l* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3} + 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {\left({x}^{2}\right)}^{3}, 0.037037037037037035\right)} \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   5. cube-prod 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, \color{blue}{{x}^{3} \cdot {x}^{3}}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   6. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   7. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{\color{blue}{6}}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{0.1111111111111111 + \left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   8. associate-+r- 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 + {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) - 0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}}} \]

   9. sub-neg 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 + {x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272\right) + \left(-0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   10. +-commutative 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.0004938271604938272 + 0.1111111111111111\right)} + \left(-0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   11. fma-define 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right)} + \left(-0.007407407407407408 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   12. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + \left(-\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.007407407407407408}\right)} \]

   13. distribute-rgt-neg-in 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.007407407407407408\right)}} \]

   14. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + {x}^{2} \cdot \color{blue}{-0.007407407407407408}} \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.0004938271604938272, 0.1111111111111111\right) + {x}^{2} \cdot -0.007407407407407408}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1.0973936899862826 \cdot 10^{-5}, {x}^{6}, 0.037037037037037035\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{0.1111111111111111}} \]

9. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.037037037037037035} \cdot \frac{x}{0.1111111111111111} \]

10. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto 0.037037037037037035 \cdot \frac{x}{0.1111111111111111} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 35.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto x \cdot 0.3333333333333333 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.026)
   (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0)))
   (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (abs(x) < 0.026d0) then
        tmp = (x / 3.0d0) * (1.0d0 + ((x * x) / 15.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (Math.abs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if math.fabs(x) < 0.026:
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0))
	else:
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = Float64(Float64(x / 3.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) / 15.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	else
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.026], N[(N[(x / 3.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / 15.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024054 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))