UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.8%

Time: 28.4s

Alternatives: 7

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.8% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos ux) (* maxCos ux)))) xi)
  (fma yi (sin (* PI (* uy 2.0))) (* (* maxCos ux) (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f - ((maxCos * ux) * (maxCos * ux)))) * xi), fmaf(yi, sinf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))), ((maxCos * ux) * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(maxCos * ux)))) * xi), fma(yi, sin(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))), Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   2. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   10. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

10. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t\_0, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin t\_0 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos ux) (* maxCos ux)))) xi)
    (+ (* yi (sin t_0)) (* (- 1.0 ux) (* (* maxCos ux) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(cosf(t_0), (sqrtf((1.0f - ((maxCos * ux) * (maxCos * ux)))) * xi), ((yi * sinf(t_0)) + ((1.0f - ux) * ((maxCos * ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(cos(t_0), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(maxCos * ux)))) * xi), Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(maxCos * ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   2. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   10. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

    4. fma-define 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right) \]

    5. associate-*l* 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \]

    6. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

12. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t\_1 \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) + yi \cdot \sin t\_1\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+ (* xi (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))) (* yi (sin t_1)))
    (* zi (* ux (* maxCos (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (yi * sinf(t_1))) + (zi * (ux * (maxCos * (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (yi * sin(t_1))) + (zi * (ux * (maxCos * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 89.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos ux) (* maxCos ux)))) xi)
  (+ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f - ((maxCos * ux) * (maxCos * ux)))) * xi), ((2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(maxCos * ux)))) * xi), Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   2. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right), maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   10. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \]

10. Taylor expanded in uy around 0 91.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

11. Final simplification 91.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 58.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi - ux \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos ux) (* maxCos ux)))) xi)
  (* maxCos (- (* ux zi) (* ux (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f - ((maxCos * ux) * (maxCos * ux)))) * xi), (maxCos * ((ux * zi) - (ux * (ux * zi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(maxCos * ux)))) * xi), Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * zi) - Float32(ux * Float32(ux * zi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

6. Taylor expanded in ux around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 59.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   2. sub-neg 59.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in 59.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   4. *-un-lft-identity 59.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux \cdot zi} + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot zi + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

10. Final simplification 59.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi - ux \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 58.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos ux) (* maxCos ux)))) xi)
  (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f - ((maxCos * ux) * (maxCos * ux)))) * xi), (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(maxCos * ux)))) * xi), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

6. Taylor expanded in ux around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 56.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos ux) (* maxCos ux)))) xi)
  (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f - ((maxCos * ux) * (maxCos * ux)))) * xi), (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(maxCos * ux)))) * xi), Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

6. Taylor expanded in ux around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 59.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 57.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

9. Final simplification 57.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024053 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))