bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.7% → 97.1%

Time: 23.2s

Alternatives: 8

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.313459876636935e+296

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\\ \left(\left(x \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right) \cdot x \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (fma
           (pow x 2.0)
           (fma 0.0003527336860670194 (pow x 2.0) -0.005555555555555556)
           0.16666666666666666))))
   (* (* (* x t_0) t_0) x)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sqrt(fma(pow(x, 2.0), fma(0.0003527336860670194, pow(x, 2.0), -0.005555555555555556), 0.16666666666666666));
	return ((x * t_0) * t_0) * x;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = sqrt(fma((x ^ 2.0), fma(0.0003527336860670194, (x ^ 2.0), -0.005555555555555556), 0.16666666666666666))
	return Float64(Float64(Float64(x * t_0) * t_0) * x)
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(x * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.9%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.9%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. *-commutative 96.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* 0.0003527336860670194 (pow x 2.0)) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 2.0)) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x ^ 2.0)) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.1% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)\right) \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (*
   x
   (+
    0.16666666666666666
    (*
     (pow x 2.0)
     (- (* 0.0003527336860670194 (pow x 2.0)) 0.005555555555555556))))
  x))

C

double code(double x) {
	return (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)))) * x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.005555555555555556d0)))) * x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)))) * x;
}

Python

def code(x):
	return (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)))) * x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 2.0)) - 0.005555555555555556)))) * x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x ^ 2.0)) - 0.005555555555555556)))) * x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.9%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.9%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. *-commutative 96.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)\right)} \cdot x \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* -0.005555555555555556 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x (+ 0.16666666666666666 (* -0.005555555555555556 (pow x 2.0)))) x))

C

double code(double x) {
	return (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * pow(x, 2.0)))) * x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (0.16666666666666666d0 + ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 2.0d0)))) * x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 2.0)))) * x;
}

Python

def code(x):
	return (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 2.0)))) * x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 2.0)))) * x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x ^ 2.0)))) * x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.9%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.9%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. *-commutative 96.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot x \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.5% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.5% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* 0.16666666666666666 x) x))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * x) * x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * x) * x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * x) * x;
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * x) * x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * x) * x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * x) * x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.9%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.9%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.9%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.9%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. *-commutative 96.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 50.5% accurate, 67.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 1.0))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - 1.0

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - 1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - 1.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

   3. log1p-undefine 57.6%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

   4. rem-exp-log 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

4. Applied egg-rr 57.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]

5. Taylor expanded in x around 0 56.5%

   \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) - 1 \]

6. Taylor expanded in x around 0 55.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} - 1 \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024050 -o generate:simplify
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))