bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.4% → 96.7%

Time: 21.7s

Alternatives: 7

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.521906332922612e+63

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x\_m}{x\_m}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 5 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x\_m}{\sinh x\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + 6 \cdot \log x\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.0)
     (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))
     (if (<= t_0 5e+290)
       (- (log (/ x_m (sinh x_m))))
       (+ (log 0.0001984126984126984) (* 6.0 (log x_m)))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	} else if (t_0 <= 5e+290) {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = log(0.0001984126984126984) + (6.0 * log(x_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.0d0) then
        tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
    else if (t_0 <= 5d+290) then
        tmp = -log((x_m / sinh(x_m)))
    else
        tmp = log(0.0001984126984126984d0) + (6.0d0 * log(x_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	} else if (t_0 <= 5e+290) {
		tmp = -Math.log((x_m / Math.sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = Math.log(0.0001984126984126984) + (6.0 * Math.log(x_m));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0:
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666)
	elif t_0 <= 5e+290:
		tmp = -math.log((x_m / math.sinh(x_m)))
	else:
		tmp = math.log(0.0001984126984126984) + (6.0 * math.log(x_m))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666));
	elseif (t_0 <= 5e+290)
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	else
		tmp = Float64(log(0.0001984126984126984) + Float64(6.0 * log(x_m)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0)
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	elseif (t_0 <= 5e+290)
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	else
		tmp = log(0.0001984126984126984) + (6.0 * log(x_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e+290], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), N[(N[Log[0.0001984126984126984], $MachinePrecision] + N[(6.0 * N[Log[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1

   1. Initial program 53.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 72.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      3. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      5. swap-sqr 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      6. pow-prod-up 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      7. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      8. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   5. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      2. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

      3. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}}} \]

      4. pow-prod-up 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      5. pow2 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. pow2 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} \]

      7. swap-sqr 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

      9. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      10. associate-*r* 99.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 4.9999999999999998e290

   1. Initial program 92.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 92.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 92.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   if 4.9999999999999998e290 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 13.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 13.0%

         \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{\left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-commutative 13.0%

         \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)}\right) \]

      3. associate-+r+ 13.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      4. +-commutative 13.0%

         \[\leadsto \log \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      5. +-commutative 13.0%

         \[\leadsto \log \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

      6. *-commutative 13.0%

         \[\leadsto \log \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      7. *-commutative 13.0%

         \[\leadsto \log \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984}\right)\right) \]

   5. Simplified 13.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 10.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.0001984126984126984 + -6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. log-rec 10.3%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + -6 \cdot \color{blue}{\left(-\log x\right)} \]

      2. distribute-rgt-neg-out 10.3%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + \color{blue}{\left(--6 \cdot \log x\right)} \]

      3. distribute-lft-neg-in 10.3%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + \color{blue}{\left(--6\right) \cdot \log x} \]

      4. metadata-eval 10.3%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + \color{blue}{6} \cdot \log x \]

   8. Simplified 10.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.0001984126984126984 + 6 \cdot \log x} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 5 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + 6 \cdot \log x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x\_m}{x\_m}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 5 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x\_m}{\sinh x\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.0)
     (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))
     (if (<= t_0 5e+290)
       (- (log (/ x_m (sinh x_m))))
       (log (+ (* 0.16666666666666666 (* x_m x_m)) 1.0))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	} else if (t_0 <= 5e+290) {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.0d0) then
        tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
    else if (t_0 <= 5d+290) then
        tmp = -log((x_m / sinh(x_m)))
    else
        tmp = log(((0.16666666666666666d0 * (x_m * x_m)) + 1.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	} else if (t_0 <= 5e+290) {
		tmp = -Math.log((x_m / Math.sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = Math.log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0:
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666)
	elif t_0 <= 5e+290:
		tmp = -math.log((x_m / math.sinh(x_m)))
	else:
		tmp = math.log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666));
	elseif (t_0 <= 5e+290)
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	else
		tmp = log(Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x_m * x_m)) + 1.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0)
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	elseif (t_0 <= 5e+290)
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	else
		tmp = log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e+290], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), N[Log[N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1

   1. Initial program 53.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 72.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      3. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      5. swap-sqr 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      6. pow-prod-up 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      7. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      8. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   5. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      2. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

      3. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}}} \]

      4. pow-prod-up 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      5. pow2 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. pow2 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} \]

      7. swap-sqr 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

      9. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      10. associate-*r* 99.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 4.9999999999999998e290

   1. Initial program 92.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 92.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 92.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   if 4.9999999999999998e290 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 12.8%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 12.8%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

   5. Simplified 12.8%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 12.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   7. Applied egg-rr 12.8%

      \[\leadsto \log \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 5 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x\_m}{x\_m}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 5 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.0)
     (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))
     (if (<= t_0 5e+290)
       (log t_0)
       (log (+ (* 0.16666666666666666 (* x_m x_m)) 1.0))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	} else if (t_0 <= 5e+290) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.0d0) then
        tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
    else if (t_0 <= 5d+290) then
        tmp = log(t_0)
    else
        tmp = log(((0.16666666666666666d0 * (x_m * x_m)) + 1.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	} else if (t_0 <= 5e+290) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = Math.log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0:
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666)
	elif t_0 <= 5e+290:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = math.log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666));
	elseif (t_0 <= 5e+290)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x_m * x_m)) + 1.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0)
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	elseif (t_0 <= 5e+290)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(((0.16666666666666666 * (x_m * x_m)) + 1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e+290], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[Log[N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1

   1. Initial program 53.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 72.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      3. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      5. swap-sqr 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      6. pow-prod-up 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      7. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      8. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   5. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      2. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

      3. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}}} \]

      4. pow-prod-up 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      5. pow2 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. pow2 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} \]

      7. swap-sqr 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

      9. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      10. associate-*r* 99.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 4.9999999999999998e290

   1. Initial program 92.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 4.9999999999999998e290 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 12.8%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 12.8%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

   5. Simplified 12.8%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 12.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   7. Applied egg-rr 12.8%

      \[\leadsto \log \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 5 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ -0.005555555555555556 \cdot {x\_m}^{4} + \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x\_m}^{6}\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0))
  (+
   (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))
   (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)) + ((x_m * (x_m * 0.16666666666666666)) + (0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x_m ** 4.0d0)) + ((x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)) + (0.0003527336860670194d0 * (x_m ** 6.0d0)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x_m, 4.0)) + ((x_m * (x_m * 0.16666666666666666)) + (0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x_m, 4.0)) + ((x_m * (x_m * 0.16666666666666666)) + (0.0003527336860670194 * math.pow(x_m, 6.0)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + Float64(Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666)) + Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + ((x_m * (x_m * 0.16666666666666666)) + (0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

5. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. sqrt-unprod 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. *-commutative 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. *-commutative 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   5. swap-sqr 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   6. pow-prod-up 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   7. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   8. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

7. Applied egg-rr 70.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

   2. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

   3. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}}} \]

   4. pow-prod-up 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   5. pow2 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   6. pow2 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} \]

   7. swap-sqr 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

   8. sqrt-unprod 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   9. add-sqr-sqrt 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   10. associate-*r* 96.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

9. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

10. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ -0.005555555555555556 \cdot {x\_m}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x\_m}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0))
  (+
   (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))
   (* 0.16666666666666666 (* x_m x_m)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x_m * x_m)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x_m ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x_m ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x_m * x_m)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x_m * x_m)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x_m, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x_m * x_m)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x_m * x_m))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x_m * x_m)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

5. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.1%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

7. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

8. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.3% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x_m x_m)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.16666666666666666 * (x_m * x_m);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.16666666666666666d0 * (x_m * x_m)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.16666666666666666 * (x_m * x_m);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.16666666666666666 * (x_m * x_m)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x_m * x_m))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x_m * x_m);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.1%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

5. Applied egg-rr 96.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

6. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.3% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. sqrt-unprod 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. *-commutative 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. *-commutative 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   5. swap-sqr 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   6. pow-prod-up 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   7. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   8. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

5. Applied egg-rr 70.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

   2. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

   3. metadata-eval 70.5%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}}} \]

   4. pow-prod-up 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   5. pow2 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   6. pow2 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} \]

   7. swap-sqr 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

   8. sqrt-unprod 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   9. add-sqr-sqrt 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   10. associate-*r* 96.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 97.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024048 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))