ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.2% → 99.5%

Time: 21.0s

Alternatives: 4

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
  (+
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + ((-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + (((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + ((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + ((-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + ((-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + ((-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. +-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

5. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

6. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* 0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.16666666666666666d0 * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Python

def code(x):
	return x * (0.16666666666666666 * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.16666666666666666 * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 99.0%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 99.0%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 49.0%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 99.0%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2} \]

   2. unpow-prod-down 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {x}^{2}} \]

   3. unpow2 99.2%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   4. associate-*r* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot x\right) \cdot x} \]

   5. pow1/2 99.2%

      \[\leadsto \left({\color{blue}{\left({0.16666666666666666}^{0.5}\right)}}^{2} \cdot x\right) \cdot x \]

   6. pow-pow 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{0.16666666666666666}^{\left(0.5 \cdot 2\right)}} \cdot x\right) \cdot x \]

   7. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \left({0.16666666666666666}^{\color{blue}{1}} \cdot x\right) \cdot x \]

   8. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot x \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 46.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024048 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))