2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 97.8%

Time: 33.9s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.8% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_1 := 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ t_2 := \sin t\_1\\ t_3 := \cos t\_1\\ t_4 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ 2 \cdot \frac{{\left(t\_3 \cdot t\_4\right)}^{3} - {\left(t\_0 \cdot t\_2\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - t\_1\right), t\_3 \cdot \left(t\_3 \cdot \left(t\_4 \cdot t\_4\right)\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* 0.6666666666666666 PI)))
        (t_1 (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h))))
        (t_2 (sin t_1))
        (t_3 (cos t_1))
        (t_4 (cos (* 0.6666666666666666 PI))))
   (*
    2.0
    (/
     (- (pow (* t_3 t_4) 3.0) (pow (* t_0 t_2) 3.0))
     (fma
      t_0
      (* t_2 (cos (- (* 0.6666666666666666 PI) t_1)))
      (* t_3 (* t_3 (* t_4 t_4))))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = sin((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	double t_1 = 0.3333333333333333 * acos((g / h));
	double t_2 = sin(t_1);
	double t_3 = cos(t_1);
	double t_4 = cos((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	return 2.0 * ((pow((t_3 * t_4), 3.0) - pow((t_0 * t_2), 3.0)) / fma(t_0, (t_2 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) - t_1))), (t_3 * (t_3 * (t_4 * t_4)))));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = sin(Float64(0.6666666666666666 * pi))
	t_1 = Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h)))
	t_2 = sin(t_1)
	t_3 = cos(t_1)
	t_4 = cos(Float64(0.6666666666666666 * pi))
	return Float64(2.0 * Float64(Float64((Float64(t_3 * t_4) ^ 3.0) - (Float64(t_0 * t_2) ^ 3.0)) / fma(t_0, Float64(t_2 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) - t_1))), Float64(t_3 * Float64(t_3 * Float64(t_4 * t_4))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Power[N[(t$95$3 * t$95$4), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] - N[Power[N[(t$95$0 * t$95$2), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 * N[(t$95$2 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 * N[(t$95$3 * N[(t$95$4 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]

   2. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

   3. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 50.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   5. sqrt-unprod 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   6. sqr-neg 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   7. sqrt-unprod 47.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   8. add-sqr-sqrt 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   9. metadata-eval 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

6. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. cos-sum 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) - \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]

   2. flip3-- 96.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) + \left(\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) + \left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}} \]

8. Applied egg-rr 96.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right), \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right), \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right), \left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 97.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. fma-undefine 97.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) + \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-commutative 97.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) + \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    3. *-commutative 97.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} + \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    4. cos-diff 98.9%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    5. *-commutative 98.9%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot 0.6666666666666666} - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

13. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ g (- h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (/ g (- h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos((g / -h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos((g / -h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos((g / -h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos((g / -h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h))) (* 0.6666666666666666 PI)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.3333333333333333 * acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.3333333333333333 * Math.acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * Math.PI)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.3333333333333333 * math.acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * math.pi)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))) + Float64(0.6666666666666666 * pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.3333333333333333 * acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * pi)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]

   2. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

   3. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 50.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   5. sqrt-unprod 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   6. sqr-neg 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   7. sqrt-unprod 47.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   8. add-sqr-sqrt 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right) \cdot \frac{1}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   9. metadata-eval 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

6. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

7. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024047 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))