2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.9% → 99.4%

Time: 14.9s

Alternatives: 12

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{{t\_0}^{2} + \left(x + \left(1 + x\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_0 - \sqrt[3]{x}\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/
    (+ 1.0 (- x x))
    (+
     (pow t_0 2.0)
     (*
      (+ x (+ 1.0 x))
      (/ (cbrt x) (+ (pow (cbrt x) 2.0) (* t_0 (- t_0 (cbrt x))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (pow(t_0, 2.0) + ((x + (1.0 + x)) * (cbrt(x) / (pow(cbrt(x), 2.0) + (t_0 * (t_0 - cbrt(x)))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + ((x + (1.0 + x)) * (Math.cbrt(x) / (Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0) + (t_0 * (t_0 - Math.cbrt(x)))))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(Float64(x + Float64(1.0 + x)) * Float64(cbrt(x) / Float64((cbrt(x) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_0 - cbrt(x))))))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(x + N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 6.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   3. pow1/3 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

   5. metadata-eval 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}} \]

   2. div-inv 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   4. +-commutative 7.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   5. pow-pow 7.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left({x}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   6. metadata-eval 7.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\left({x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   7. unpow1/3 5.9%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   8. rem-cube-cbrt 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   9. pow2 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 8.3%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   11. distribute-rgt-out 8.3%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. associate--l+ 98.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x - x\right)\right)} \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 98.4%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 71.1%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{3}\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}}} \]

   3. rem-cube-cbrt 71.4%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\color{blue}{x} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{3}\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

   4. pow3 71.5%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(x + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

   5. add-cube-cbrt 71.8%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(x + \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

   6. pow2 71.8%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(x + \left(1 + x\right)\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

   7. distribute-rgt-out-- 71.8%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(x + \left(1 + x\right)\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}}} \]

10. Applied egg-rr 71.8%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(x + \left(1 + x\right)\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 71.8%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \frac{\color{blue}{\left(x + \left(1 + x\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]

    2. associate-/l* 99.5%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\left(x + \left(1 + x\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}}} \]

12. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\left(x + \left(1 + x\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}}} \]

13. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left(x + \left(1 + x\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (sqrt (+ 1.0 x)))))
   (/
    (+ 1.0 (- x x))
    (+ (pow (* t_0 t_0) 2.0) (* (cbrt x) (+ (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(sqrt((1.0 + x)));
	return (1.0 + (x - x)) / (pow((t_0 * t_0), 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt((1.0 + x)) + cbrt(x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt(Math.sqrt((1.0 + x)));
	return (1.0 + (x - x)) / (Math.pow((t_0 * t_0), 2.0) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt((1.0 + x)) + Math.cbrt(x))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(sqrt(Float64(1.0 + x)))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64((Float64(t_0 * t_0) ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) + cbrt(x)))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 6.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   3. pow1/3 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

   5. metadata-eval 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}} \]

   2. div-inv 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   4. +-commutative 7.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   5. pow-pow 7.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left({x}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   6. metadata-eval 7.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\left({x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   7. unpow1/3 5.9%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   8. rem-cube-cbrt 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   9. pow2 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 8.3%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   11. distribute-rgt-out 8.3%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. associate--l+ 98.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x - x\right)\right)} \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 92.9%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   2. +-commutative 92.9%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.3333333333333333}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt 92.9%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   4. unpow-prod-down 92.9%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

10. Applied egg-rr 92.9%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 94.3%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x + 1}}} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    2. +-commutative 94.3%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    3. unpow1/3 98.5%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x + 1}}}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    4. +-commutative 98.5%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1 + x}}}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

12. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

13. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(t\_0 + \sqrt[3]{x}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ (+ 1.0 (- x x)) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ t_0 (cbrt x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (t_0 + cbrt(x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + (Math.cbrt(x) * (t_0 + Math.cbrt(x))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(t_0 + cbrt(x)))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 6.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   3. pow1/3 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

   5. metadata-eval 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}} \]

   2. div-inv 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   4. +-commutative 7.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   5. pow-pow 7.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left({x}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   6. metadata-eval 7.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\left({x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   7. unpow1/3 5.9%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   8. rem-cube-cbrt 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   9. pow2 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 8.3%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \]

   11. distribute-rgt-out 8.3%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \left({\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. associate--l+ 98.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x - x\right)\right)} \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

9. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
  (* 0.3333333333333333 (* (pow x -0.5) (cbrt (pow x -0.5))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * (pow(x, -0.5) * cbrt(pow(x, -0.5))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * (Math.pow(x, -0.5) * Math.cbrt(Math.pow(x, -0.5))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * Float64((x ^ -0.5) * cbrt((x ^ -0.5)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision] * N[Power[N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 49.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}} \]

   2. cbrt-prod 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right)} \]

   3. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   4. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   5. unpow2 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   6. sqrt-prod 49.5%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   8. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}}\right) \]

   9. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}\right) \]

   10. unpow2 49.4%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}}\right) \]

   11. sqrt-prod 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}}\right) \]

   12. add-sqr-sqrt 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right)} \]

   4. add-sqr-sqrt 96.9%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   5. sqrt-prod 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   6. unpow2 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   7. sqrt-prod 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   8. unpow2 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   9. add-cube-cbrt 98.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   10. inv-pow 98.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{-1}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 98.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   12. metadata-eval 98.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]

   13. add-cbrt-cube 97.5%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}}}\right) \]

9. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)} \]

10. Final simplification 97.8%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
  (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 49.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}} \]

   2. cbrt-prod 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right)} \]

   3. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   4. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   5. unpow2 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   6. sqrt-prod 49.5%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   8. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}}\right) \]

   9. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}\right) \]

   10. unpow2 49.4%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}}\right) \]

   11. sqrt-prod 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}}\right) \]

   12. add-sqr-sqrt 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]

   2. cbrt-div 97.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right) \]

   3. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right) \]

   4. cbrt-div 97.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

   5. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

9. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow-1 97.4%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    2. unpow-1 97.4%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}}\right) \]

    3. pow-sqr 97.5%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}} \]

    4. metadata-eval 97.5%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{-2}} \]

11. Simplified 97.5%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]

12. Final simplification 97.5%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 9 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 9e+154)
   (cbrt (* (pow x -2.0) 0.037037037037037035))
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 9e+154) {
		tmp = cbrt((pow(x, -2.0) * 0.037037037037037035));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 9e+154) {
		tmp = Math.cbrt((Math.pow(x, -2.0) * 0.037037037037037035));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 9e+154)
		tmp = cbrt(Float64((x ^ -2.0) * 0.037037037037037035));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 9e+154], N[Power[N[(N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision] * 0.037037037037037035), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.00000000000000018e154

   1. Initial program 8.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 11.4%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 10.4%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

   4. Applied egg-rr 10.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow-1 95.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{-1}}} \]

      2. exp-to-pow 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(e^{\log x \cdot 2}\right)}}^{-1}} \]

      3. exp-prod 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{e^{\left(\log x \cdot 2\right) \cdot -1}}} \]

      4. associate-*l* 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log x \cdot \left(2 \cdot -1\right)}}} \]

      5. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\log x \cdot \color{blue}{-2}}} \]

      6. exp-to-pow 95.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}}} \]

      7. rem-cbrt-cube 94.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)}^{3}}} \]

      8. *-commutative 94.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot 0.3333333333333333\right)}}^{3}} \]

      9. cube-prod 94.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3}}} \]

      10. rem-cube-cbrt 94.8%

          \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}} \cdot {0.3333333333333333}^{3}} \]

      11. metadata-eval 95.1%

          \[\leadsto \sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot \color{blue}{0.037037037037037035}} \]

   7. Simplified 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035}} \]

   if 9.00000000000000018e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 4.8%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-flip 7.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 89.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

   5. Applied egg-rr 89.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 9 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 96.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

      2. pow-flip 96.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

      3. pow-pow 96.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

      4. metadata-eval 96.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

      5. metadata-eval 96.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   5. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 4.8%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-flip 7.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 89.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

   5. Applied egg-rr 89.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
  (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt (/ 1.0 x)) 2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * pow(cbrt((1.0 / x)), 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt((1.0 / x)), 2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(Float64(1.0 / x)) ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 49.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}} \]

   2. cbrt-prod 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right)} \]

   3. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   4. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   5. unpow2 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   6. sqrt-prod 49.5%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   8. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}}\right) \]

   9. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}\right) \]

   10. unpow2 49.4%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}}\right) \]

   11. sqrt-prod 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}}\right) \]

   12. add-sqr-sqrt 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 49.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   2. pow-flip 49.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   3. pow-pow 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   4. metadata-eval 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   5. metadata-eval 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

9. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2} \]

10. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
  (* 0.3333333333333333 (pow (/ 1.0 (cbrt x)) 2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * pow((1.0 / cbrt(x)), 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * Math.pow((1.0 / Math.cbrt(x)), 2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * (Float64(1.0 / cbrt(x)) ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 49.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}} \]

   2. cbrt-prod 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right)} \]

   3. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   4. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   5. unpow2 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   6. sqrt-prod 49.5%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}\right) \]

   8. sqrt-div 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}}\right) \]

   9. metadata-eval 49.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}\right) \]

   10. unpow2 49.4%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}}\right) \]

   11. sqrt-prod 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}}\right) \]

   12. add-sqr-sqrt 97.2%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}}}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div 97.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]

   2. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

9. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{2} \]
10. Step-by-step derivation

    1. pow1/3 49.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

    2. pow-flip 49.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

    3. pow-pow 49.7%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

    4. metadata-eval 49.7%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

    5. metadata-eval 49.7%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

11. Applied egg-rr 97.4%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]

12. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 51.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (cbrt (* (pow x -2.0) 0.037037037037037035)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((pow(x, -2.0) * 0.037037037037037035));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((Math.pow(x, -2.0) * 0.037037037037037035));
}

Julia

function code(x)
	return cbrt(Float64((x ^ -2.0) * 0.037037037037037035))
end

Wolfram

code[x_] := N[Power[N[(N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision] * 0.037037037037037035), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow-to-exp 6.9%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

5. Taylor expanded in x around inf 48.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 48.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{-1}}} \]

   2. exp-to-pow 46.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(e^{\log x \cdot 2}\right)}}^{-1}} \]

   3. exp-prod 47.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{e^{\left(\log x \cdot 2\right) \cdot -1}}} \]

   4. associate-*l* 47.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log x \cdot \left(2 \cdot -1\right)}}} \]

   5. metadata-eval 47.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\log x \cdot \color{blue}{-2}}} \]

   6. exp-to-pow 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}}} \]

   7. rem-cbrt-cube 49.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)}^{3}}} \]

   8. *-commutative 49.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot 0.3333333333333333\right)}}^{3}} \]

   9. cube-prod 49.5%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3}}} \]

   10. rem-cube-cbrt 49.6%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}} \cdot {0.3333333333333333}^{3}} \]

   11. metadata-eval 49.8%

       \[\leadsto \sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot \color{blue}{0.037037037037037035}} \]

7. Simplified 49.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035}} \]

8. Final simplification 49.8%

   \[\leadsto \sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 51.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow x -2.0))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt(pow(x, -2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow(x, -2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt((x ^ -2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow-to-exp 6.9%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

5. Taylor expanded in x around inf 48.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 48.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{-1}}} \]

   2. exp-to-pow 46.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(e^{\log x \cdot 2}\right)}}^{-1}} \]

   3. exp-prod 47.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{e^{\left(\log x \cdot 2\right) \cdot -1}}} \]

   4. associate-*l* 47.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log x \cdot \left(2 \cdot -1\right)}}} \]

   5. metadata-eval 47.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\log x \cdot \color{blue}{-2}}} \]

   6. exp-to-pow 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}}} \]

7. Simplified 50.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}} \]

8. Final simplification 50.1%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 12: 5.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.2%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.2%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.2%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.2%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.2%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Final simplification 5.2%

   \[\leadsto 1 + \sqrt[3]{x} \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024046 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))