UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 99.0%

Time: 33.3s

Alternatives: 11

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t\_0 \cdot t\_1, xi, \sin t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* (- 1.0 ux) maxCos) (* ux (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (fma (* (cos t_0) t_1) xi (* (sin t_0) (* t_1 yi)))
    (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (((1.0f - ux) * maxCos) * (ux * ((ux * maxCos) * (ux + -1.0f))))));
	return fmaf((cosf(t_0) * t_1), xi, (sinf(t_0) * (t_1 * yi))) + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * Float32(ux * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_0) * t_1), xi, Float32(sin(t_0) * Float32(t_1 * yi))) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_2 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) + yi \cdot \left(t\_1 \cdot \sin t\_2\right)\right) + zi \cdot t\_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
        (t_2 (* PI (* uy 2.0))))
   (+ (+ (* xi (* (cos t_2) t_1)) (* yi (* t_1 (sin t_2)))) (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	float t_2 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_2) * t_1)) + (yi * (t_1 * sinf(t_2)))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	t_2 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_2) * t_1)) + Float32(yi * Float32(t_1 * sin(t_2)))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	t_2 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_2) * t_1)) + (yi * (t_1 * sin(t_2)))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos t\_0 \cdot t\_1\right) + yi \cdot \left(t\_1 \cdot \sin t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi)
    (+ (* xi (* (cos t_0) t_1)) (* yi (* t_1 (sin t_0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((xi * (cosf(t_0) * t_1)) + (yi * (t_1 * sinf(t_0))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_0) * t_1)) + Float32(yi * Float32(t_1 * sin(t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	t_1 = sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	tmp = (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((xi * (cos(t_0) * t_1)) + (yi * (t_1 * sin(t_0))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   4. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

6. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ zi \cdot t\_0 + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* zi t_0)
    (+
     (*
      xi
      (*
       (cos (* PI (* uy 2.0)))
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (zi * t_0) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(zi * t_0) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (zi * t_0) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi)
  (+
   (*
    xi
    (*
     (cos (* PI (* uy 2.0)))
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   4. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi)
  (+
   (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI))))
   (*
    xi
    (*
     (cos (* PI (* uy 2.0)))
     (sqrt (+ 1.0 (* (* ux maxCos) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * maxCos) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * maxCos) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   4. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{maxCos} \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (*
     (cos (* PI (* uy 2.0)))
     (sqrt (+ 1.0 (* (* ux maxCos) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) yi))
  (* (* ux maxCos) zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * maxCos) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * yi)) + ((ux * maxCos) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * yi)) + Float32(Float32(ux * maxCos) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * maxCos) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * yi)) + ((ux * maxCos) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 96.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-cube-cbrt 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. pow3 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied egg-rr 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 96.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left({1}^{0.3333333333333333} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-base-1 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-lft-identity 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right)}\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 95.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{maxCos} \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi)
  (+
   (*
    xi
    (*
     (cos (* PI (* uy 2.0)))
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   4. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in uy around 0 91.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

9. Simplified 91.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

10. Final simplification 91.2%

    \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* ux maxCos) zi)
  (+
   (*
    xi
    (*
     (cos (* PI (* uy 2.0)))
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (* 2.0 (* PI (* uy yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((ux * maxCos) * zi) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((ux * maxCos) * zi) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (single(2.0) * (single(pi) * (uy * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 96.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-cube-cbrt 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. pow3 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied egg-rr 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 96.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left({1}^{0.3333333333333333} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-base-1 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-lft-identity 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right)}\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in uy around 0 88.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* 88.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Final simplification 88.4%

    \[\leadsto \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 57.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   xi
   (*
    (cos (* PI (* uy 2.0)))
    (sqrt
     (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
  (* (* ux maxCos) zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + ((ux * maxCos) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(Float32(ux * maxCos) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + ((ux * maxCos) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 96.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-cube-cbrt 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. pow3 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied egg-rr 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 56.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{0}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Final simplification 56.7%

   \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 56.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   xi
   (*
    (cos (* PI (* uy 2.0)))
    (sqrt (+ 1.0 (* (* ux maxCos) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
  (* (* ux maxCos) zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f + ((ux * maxCos) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + ((ux * maxCos) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(Float32(ux * maxCos) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) + ((ux * maxCos) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + ((ux * maxCos) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 96.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-cube-cbrt 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. pow3 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied egg-rr 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 56.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{0}\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in ux around 0 56.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{maxCos} \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 56.7%

   \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024044 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))