ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.8% → 99.5%

Time: 23.4s

Alternatives: 5

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* x (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (sqrt 0.16666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * sqrt(0.16666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (x * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666)))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (x * (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * math.sqrt(0.16666666666666666)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(x * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 44.8%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+ (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)) (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 44.8%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \cdot x\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot x\right) \]

   2. rem-square-sqrt 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \]

11. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* x 0.16666666666666666) x (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma((x * 0.16666666666666666), x, (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(Float64(x * 0.16666666666666666), x, Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   4. rem-square-sqrt 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   5. swap-sqr 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   6. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   7. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   8. fma-define 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   9. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   10. add-sqr-sqrt 44.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right), x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   11. unswap-sqr 44.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   12. sqrt-prod 44.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right), x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   13. sqrt-prod 44.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}}, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   14. add-sqr-sqrt 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   15. *-commutative 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

6. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 84.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. sqrt-unprod 75.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x} \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   3. frac-times 20.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}{\tan x \cdot \tan x}}} \]

   4. *-commutative 20.9%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   5. *-commutative 20.9%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   6. swap-sqr 20.9%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   7. pow-prod-up 21.0%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   8. metadata-eval 21.0%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   9. metadata-eval 21.0%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   10. pow2 21.0%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}{\color{blue}{{\tan x}^{2}}}} \]

5. Applied egg-rr 21.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}{{\tan x}^{2}}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 75.8%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 75.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]

8. Simplified 75.8%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod 75.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}} \]

   2. metadata-eval 75.8%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{4}} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]

   3. sqrt-pow1 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \cdot 0.16666666666666666 \]

   4. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{2}} \cdot 0.16666666666666666 \]

   5. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

   6. associate-*r* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

   8. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

10. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

11. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024043 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))