bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.1% → 97.9%

Time: 24.9s

Alternatives: 7

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.553160975749398e+110

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.00001:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00001)
     (+
      (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
      (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556))
     (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00001) {
		tmp = (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00001d0) then
        tmp = (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00001) {
		tmp = (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00001:
		tmp = (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556)
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00001)
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00001)
		tmp = (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556);
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00001], N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0000100000000001

   1. Initial program 57.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.0000100000000001 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 64.3%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00001:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (expm1
  (log1p
   (log1p
    (fma
     (pow x 6.0)
     0.0001984126984126984
     (fma
      (pow x 4.0)
      0.008333333333333333
      (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))))

C

double code(double x) {
	return expm1(log1p(log1p(fma(pow(x, 6.0), 0.0001984126984126984, fma(pow(x, 4.0), 0.008333333333333333, (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)))))));
}

Julia

function code(x)
	return expm1(log1p(log1p(fma((x ^ 6.0), 0.0001984126984126984, fma((x ^ 4.0), 0.008333333333333333, Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(Exp[N[Log[1 + N[Log[1 + N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 57.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. log1p-def 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-def 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-udef 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
  (+
   (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194)
   (* x (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (sqrt 0.16666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (((x ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0) + (x * (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * sqrt(0.16666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((Math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666)))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * math.sqrt(0.16666666666666666)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + Float64(x * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 44.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   2. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 97.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

7. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

8. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00000001:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\sinh x \cdot \frac{1}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 1.00000001)
   (* x (* x 0.16666666666666666))
   (log (* (sinh x) (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.00000001) {
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) * (1.0 / x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x) / x) <= 1.00000001d0) then
        tmp = x * (x * 0.16666666666666666d0)
    else
        tmp = log((sinh(x) * (1.0d0 / x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x) / x) <= 1.00000001) {
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = Math.log((Math.sinh(x) * (1.0 / x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x) / x) <= 1.00000001:
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666)
	else:
		tmp = math.log((math.sinh(x) * (1.0 / x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 1.00000001)
		tmp = Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) * Float64(1.0 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.00000001)
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
	else
		tmp = log((sinh(x) * (1.0 / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 1.00000001], N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0000000099999999

   1. Initial program 57.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      2. pow1/3 66.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      3. pow3 66.1%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      4. *-commutative 66.1%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      5. unpow-prod-down 66.1%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      6. unpow2 66.1%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      7. pow-prod-down 66.1%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      8. pow-prod-up 66.1%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      9. metadata-eval 66.1%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      10. metadata-eval 66.1%

          \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. Applied egg-rr 66.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

   7. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}} \]

      2. sqrt-unprod 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}} \]

      3. cbrt-unprod 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right) \cdot \left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}}} \]

      4. swap-sqr 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{6} \cdot {x}^{6}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}}} \]

      5. pow-sqr 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 6\right)}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      6. metadata-eval 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{12}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      7. metadata-eval 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(8 + 4\right)}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      8. pow-prod-up 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{8} \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      9. metadata-eval 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\left({x}^{\color{blue}{\left(4 + 4\right)}} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      10. pow-prod-up 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot {x}^{4}\right)} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      11. pow3 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{3}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      12. metadata-eval 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{2.143347050754458 \cdot 10^{-5}}}} \]

      13. metadata-eval 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{0.027777777777777776}^{3}}}} \]

      14. cube-prod 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)}^{3}}}} \]

      15. pow3 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)}}} \]

      16. add-cbrt-cube 76.0%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]

      17. *-commutative 76.0%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      18. metadata-eval 76.0%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

      19. metadata-eval 76.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}}} \]

      20. pow-sqr 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      21. swap-sqr 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   9. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.0000000099999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 64.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 64.9%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. associate-/r/ 65.4%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{x} \cdot \sinh x\right)} \]

   4. Applied egg-rr 65.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{x} \cdot \sinh x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00000001:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\sinh x \cdot \frac{1}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.0000002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.0000002) (* x (* x 0.16666666666666666)) (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0000002) {
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.0000002d0) then
        tmp = x * (x * 0.16666666666666666d0)
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0000002) {
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0000002:
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666)
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0000002)
		tmp = Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0000002)
		tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0000002], N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000019999999989

   1. Initial program 57.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      2. pow1/3 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      3. pow3 66.0%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      4. *-commutative 66.0%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      5. unpow-prod-down 66.0%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      6. unpow2 66.0%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      7. pow-prod-down 66.0%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      8. pow-prod-up 66.0%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      9. metadata-eval 66.0%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      10. metadata-eval 66.0%

          \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. Applied egg-rr 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

   7. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}} \]

      2. sqrt-unprod 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}} \]

      3. cbrt-unprod 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right) \cdot \left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}}} \]

      4. swap-sqr 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{6} \cdot {x}^{6}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}}} \]

      5. pow-sqr 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 6\right)}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      6. metadata-eval 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{12}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      7. metadata-eval 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(8 + 4\right)}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      8. pow-prod-up 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{8} \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      9. metadata-eval 63.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\left({x}^{\color{blue}{\left(4 + 4\right)}} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      10. pow-prod-up 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot {x}^{4}\right)} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      11. pow3 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{3}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

      12. metadata-eval 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{2.143347050754458 \cdot 10^{-5}}}} \]

      13. metadata-eval 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{0.027777777777777776}^{3}}}} \]

      14. cube-prod 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)}^{3}}}} \]

      15. pow3 63.3%

          \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)}}} \]

      16. add-cbrt-cube 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]

      17. *-commutative 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      18. metadata-eval 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

      19. metadata-eval 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}}} \]

      20. pow-sqr 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      21. swap-sqr 75.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   9. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.00000019999999989 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 65.4%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.0000002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
  (+ (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194) (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (((x ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0) + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((Math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 44.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2}\right) \]

   2. add-sqr-sqrt 44.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}\right)}^{2}\right) \]

   3. sqrt-prod 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}\right)}^{2}\right) \]

   4. unpow2 97.2%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)}^{2}\right) \]

   5. sqrt-prod 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}}^{2}\right) \]

   6. pow2 97.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 97.3%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   8. unpow2 97.3%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   9. associate-*r* 97.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

7. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

8. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. pow1/3 64.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 64.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   4. *-commutative 64.5%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. unpow-prod-down 64.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow2 64.5%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   7. pow-prod-down 64.5%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-prod-up 64.5%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. metadata-eval 64.5%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 64.5%

       \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

5. Applied egg-rr 64.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

7. Simplified 65.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}} \]

   2. sqrt-unprod 65.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}} \]

   3. cbrt-unprod 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right) \cdot \left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}}} \]

   4. swap-sqr 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{6} \cdot {x}^{6}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}}} \]

   5. pow-sqr 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 6\right)}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   6. metadata-eval 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{12}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   7. metadata-eval 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(8 + 4\right)}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   8. pow-prod-up 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{8} \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   9. metadata-eval 61.8%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\left({x}^{\color{blue}{\left(4 + 4\right)}} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   10. pow-prod-up 61.8%

       \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot {x}^{4}\right)} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   11. pow3 61.8%

       \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{3}} \cdot \left(0.004629629629629629 \cdot 0.004629629629629629\right)}} \]

   12. metadata-eval 61.8%

       \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{2.143347050754458 \cdot 10^{-5}}}} \]

   13. metadata-eval 61.8%

       \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{0.027777777777777776}^{3}}}} \]

   14. cube-prod 61.8%

       \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)}^{3}}}} \]

   15. pow3 61.8%

       \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \cdot \left({x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right)}}} \]

   16. add-cbrt-cube 73.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]

   17. *-commutative 73.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

   18. metadata-eval 73.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{4}} \]

   19. metadata-eval 73.9%

       \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}}} \]

   20. pow-sqr 73.9%

       \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   21. swap-sqr 73.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

9. Applied egg-rr 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

10. Final simplification 96.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
11. Add Preprocessing

Developer target: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024041 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))