2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.0% → 98.5%

Time: 18.3s

Alternatives: 15

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ t_1 := \sqrt[3]{\sqrt{x}}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t\_0 + t\_1 \cdot t\_1, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))) (t_1 (cbrt (sqrt x))))
   (/ (+ 1.0 (- x x)) (fma (cbrt x) (+ t_0 (* t_1 t_1)) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double t_1 = cbrt(sqrt(x));
	return (1.0 + (x - x)) / fma(cbrt(x), (t_0 + (t_1 * t_1)), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	t_1 = cbrt(sqrt(x))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / fma(cbrt(x), Float64(t_0 + Float64(t_1 * t_1)), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sqrt[x], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 7.3%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 7.3%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   3. pow1/3 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

   5. metadata-eval 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow-pow 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}} \]

   2. metadata-eval 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   3. pow1/3 7.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

   4. flip3-- 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   5. div-inv 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. rem-cube-cbrt 7.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   8. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   9. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   10. +-commutative 8.6%

       \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   11. fma-def 8.6%

       \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   4. associate--l+ 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   5. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   6. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

8. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}}^{0.3333333333333333}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   3. unpow-prod-down 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   4. pow-prod-up 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   5. metadata-eval 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\left(\sqrt{x}\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

10. Applied egg-rr 94.6%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.6666666666666666}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}}^{0.6666666666666666}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

    2. metadata-eval 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

    3. pow-sqr 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

    4. unpow1/3 96.0%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

    5. *-rgt-identity 96.0%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

    6. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-rgt-identity 98.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

12. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

13. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 7.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x}\right)}} \]

4. Applied egg-rr 7.1%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-exp-log 7.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

   2. flip3-- 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. div-inv 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. rem-cube-cbrt 7.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 7.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. pow2 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   8. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   9. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

6. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   3. associate--l+ 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   4. +-inverses 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

   6. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

8. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 59.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 500000000:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 500000000.0)
   (/
    (+ 1.0 (- x x))
    (+
     (exp (* 0.6666666666666666 (log1p x)))
     (+ (pow (cbrt x) 2.0) (cbrt (* x (+ 1.0 x))))))
   (if (<= x 1.35e+154)
     (+
      (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111)
      (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 500000000.0) {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / (exp((0.6666666666666666 * log1p(x))) + (pow(cbrt(x), 2.0) + cbrt((x * (1.0 + x)))));
	} else if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 500000000.0)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64(exp(Float64(0.6666666666666666 * log1p(x))) + Float64((cbrt(x) ^ 2.0) + cbrt(Float64(x * Float64(1.0 + x))))));
	elseif (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 500000000.0], N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[N[(0.6666666666666666 * N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 5e8

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 83.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 83.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

      3. pow1/3 83.2%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 83.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

      5. metadata-eval 83.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. Applied egg-rr 83.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-pow 84.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}} \]

      2. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

      3. pow1/3 84.2%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

      4. flip3-- 84.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      5. div-inv 84.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      6. rem-cube-cbrt 85.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. rem-cube-cbrt 98.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      8. +-commutative 98.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      9. distribute-rgt-out 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      10. +-commutative 98.6%

          \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      11. fma-def 98.7%

          \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 98.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

      3. +-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

      4. associate--l+ 98.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

      5. +-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

      6. +-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 98.6%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

      2. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

      3. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

      4. distribute-rgt-in 98.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

      5. +-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      6. associate-+r+ 98.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      7. pow2 98.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}} \]

      8. cbrt-unprod 99.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot x}}} \]

      9. +-commutative 99.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right)} \cdot x}} \]

   10. Applied egg-rr 99.3%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right) + \sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot x}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-+l+ 99.2%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot x}\right)}} \]

       2. *-commutative 99.2%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} \]

   12. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. add-exp-log 99.0%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{e^{\log \left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       2. pow-to-exp 98.7%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{\log \color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt[3]{1 + x}\right) \cdot 2}\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       3. rem-log-exp 98.7%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{\color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{1 + x}\right) \cdot 2}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       4. *-commutative 98.7%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       5. pow1/3 98.5%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{2 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       6. +-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{2 \cdot \log \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       7. log-pow 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{2 \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \log \left(x + 1\right)\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       8. +-commutative 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right)} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       9. log1p-udef 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

       2. metadata-eval 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

   16. Simplified 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]

   if 5e8 < x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 4.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.5%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.5%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.5%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 91.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 91.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. distribute-rgt-out 91.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      3. unpow1/3 91.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      4. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      5. unpow1/3 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 92.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 500000000:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ (+ 1.0 (- x x)) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 7.3%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 7.3%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   3. pow1/3 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

   5. metadata-eval 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow-pow 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}} \]

   2. metadata-eval 8.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   3. pow1/3 7.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

   4. flip3-- 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   5. div-inv 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. rem-cube-cbrt 7.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   8. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   9. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   10. +-commutative 8.6%

       \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   11. fma-def 8.6%

       \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   4. associate--l+ 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   5. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   6. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

8. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

   2. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

   3. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

   4. distribute-rgt-in 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

   5. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. distribute-rgt-in 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   7. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

11. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 58.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 260000000.0)
   (- (/ (cbrt (fma x x -1.0)) (cbrt (+ x -1.0))) (cbrt x))
   (if (<= x 1.35e+154)
     (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 260000000.0) {
		tmp = (cbrt(fma(x, x, -1.0)) / cbrt((x + -1.0))) - cbrt(x);
	} else if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 260000000.0)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(fma(x, x, -1.0)) / cbrt(Float64(x + -1.0))) - cbrt(x));
	elseif (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 260000000.0], N[(N[(N[Power[N[(x * x + -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[N[(x + -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 2.6e8

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 84.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. cbrt-div 86.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{\sqrt[3]{x - 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. metadata-eval 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. fma-neg 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. sub-neg 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      7. metadata-eval 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + \color{blue}{-1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   4. Applied egg-rr 86.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 2.6e8 < x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 4.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.5%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.5%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.5%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.5%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 91.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 98.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 92.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 58.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111)
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 9.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 10.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 9.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 9.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 9.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 9.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 9.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 9.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 9.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 8.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 8.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 8.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 9.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 9.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 9.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. distribute-rgt-out 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      3. unpow1/3 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      4. metadata-eval 89.0%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      5. unpow1/3 95.4%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 92.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 8.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)))) (if (<= t_0 0.0) 1.0 t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0], 1.0, t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 6.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 0.0 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 73.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 9.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 50.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 260000000.0)
   (- (/ (cbrt (fma x x -1.0)) (cbrt (+ x -1.0))) (cbrt x))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 260000000.0) {
		tmp = (cbrt(fma(x, x, -1.0)) / cbrt((x + -1.0))) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 260000000.0)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(fma(x, x, -1.0)) / cbrt(Float64(x + -1.0))) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 260000000.0], N[(N[(N[Power[N[(x * x + -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[N[(x + -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.6e8

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 84.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. cbrt-div 86.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{\sqrt[3]{x - 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. metadata-eval 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. fma-neg 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. sub-neg 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      7. metadata-eval 86.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + \color{blue}{-1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   4. Applied egg-rr 86.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 2.6e8 < x

   1. Initial program 4.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 50.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 260000000.0)
   (+
    (pow (+ 1.0 x) 0.3333333333333333)
    (- (pow (pow x 0.16666666666666666) 2.0)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 260000000.0) {
		tmp = pow((1.0 + x), 0.3333333333333333) + -pow(pow(x, 0.16666666666666666), 2.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 260000000.0) {
		tmp = Math.pow((1.0 + x), 0.3333333333333333) + -Math.pow(Math.pow(x, 0.16666666666666666), 2.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 260000000.0)
		tmp = Float64((Float64(1.0 + x) ^ 0.3333333333333333) + Float64(-((x ^ 0.16666666666666666) ^ 2.0)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 260000000.0], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] + (-N[Power[N[Power[x, 0.16666666666666666], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.6e8

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 83.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 83.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

      3. pow1/3 83.2%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 83.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

      5. metadata-eval 83.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. Applied egg-rr 83.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 84.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   6. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - {\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   if 2.6e8 < x

   1. Initial program 4.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 50.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 16500000:\\ \;\;\;\;{\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.6666666666666666} + \left(-\sqrt[3]{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 16500000.0)
   (+ (pow (sqrt (+ 1.0 x)) 0.6666666666666666) (- (cbrt x)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 16500000.0) {
		tmp = pow(sqrt((1.0 + x)), 0.6666666666666666) + -cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 16500000.0) {
		tmp = Math.pow(Math.sqrt((1.0 + x)), 0.6666666666666666) + -Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 16500000.0)
		tmp = Float64((sqrt(Float64(1.0 + x)) ^ 0.6666666666666666) + Float64(-cbrt(x)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 16500000.0], N[(N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision] + (-N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.65e7

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 84.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 84.8%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. unpow-prod-down 85.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow-prod-up 84.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 84.7%

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} - \sqrt[3]{x} \]

   4. Applied egg-rr 84.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.6666666666666666}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 1.65e7 < x

   1. Initial program 4.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 16500000:\\ \;\;\;\;{\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.6666666666666666} + \left(-\sqrt[3]{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 50.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 260000000.0)
   (- (exp (* (log1p x) 0.3333333333333333)) (cbrt x))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 260000000.0) {
		tmp = exp((log1p(x) * 0.3333333333333333)) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 260000000.0) {
		tmp = Math.exp((Math.log1p(x) * 0.3333333333333333)) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 260000000.0)
		tmp = Float64(exp(Float64(log1p(x) * 0.3333333333333333)) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 260000000.0], N[(N[Exp[N[(N[Log[1 + x], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.6e8

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 84.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. pow-to-exp 84.6%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(x + 1\right) \cdot 0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. +-commutative 84.6%

         \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(1 + x\right)} \cdot 0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      4. log1p-udef 84.6%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \cdot 0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   4. Applied egg-rr 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 2.6e8 < x

   1. Initial program 4.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 260000000:\\ \;\;\;\;e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 50.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 55000000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 55000000.0)
   (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 55000000.0) {
		tmp = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 55000000.0) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 55000000.0)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 55000000.0], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5e7

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   if 5.5e7 < x

   1. Initial program 4.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 55000000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 50.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 16500000:\\ \;\;\;\;{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 16500000.0)
   (- (pow (+ 1.0 x) 0.3333333333333333) (cbrt x))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 16500000.0) {
		tmp = pow((1.0 + x), 0.3333333333333333) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 16500000.0) {
		tmp = Math.pow((1.0 + x), 0.3333333333333333) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 16500000.0)
		tmp = Float64((Float64(1.0 + x) ^ 0.3333333333333333) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 16500000.0], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.65e7

   1. Initial program 84.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 84.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   4. Applied egg-rr 84.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 1.65e7 < x

   1. Initial program 4.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 16500000:\\ \;\;\;\;{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 4.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

4. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 6.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 7.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 6.4%

   \[\leadsto 1 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024041 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :herbie-target
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))