2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.8% → 99.0%

Time: 17.7s

Alternatives: 13

Speedup: 2.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \mathbf{if}\;t\_0 - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-10}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 1e-10)
     (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
     (/
      1.0
      (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow (+ x 1.0) 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 1e-10) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow((x + 1.0), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 1e-10)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (Float64(x + 1.0) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1e-10], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000004e-10

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 1.00000000000000004e-10 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 56.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 54.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 53.6%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

   4. Applied egg-rr 53.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. exp-to-pow 54.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow1/3 56.9%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

      3. flip3-- 59.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      4. div-inv 59.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      5. rem-cube-cbrt 70.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. rem-cube-cbrt 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. pow2 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      8. distribute-rgt-out 98.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 98.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}} \]

      8. fma-def 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]

      9. +-commutative 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

      10. +-commutative 98.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

      2. pow1/3 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      4. pow-sqr 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      5. +-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      6. +-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      7. associate-*l* 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}\right)} \]

      8. +-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)\right)} \]

      9. pow1/3 98.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}}\right)\right)} \]

      10. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)} \]

      11. pow-sqr 98.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}\right)}\right)\right)} \]

      12. +-commutative 98.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}\right)\right)\right)} \]

      13. +-commutative 98.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.16666666666666666}\right)\right)\right)} \]

      14. cube-mult 98.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{3}}\right)} \]

      15. +-commutative 98.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.16666666666666666}\right)}^{3}\right)} \]

      16. pow-pow 99.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 3\right)}}\right)} \]

      17. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{0.5}}\right)} \]

      18. pow1/2 99.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + x}}\right)} \]

      19. add-sqr-sqrt 99.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}\right)} \]

      20. hypot-1-def 99.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 99.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666} \cdot \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \cdot \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)} \]

       2. sqrt-pow1 99.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}}} \cdot \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)} \]

       3. pow1/3 98.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{1 + x}}} \cdot \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)} \]

       4. hypot-udef 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt{1 \cdot 1 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}\right)} \]

       5. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\color{blue}{1} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\right)} \]

       6. add-sqr-sqrt 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{x}}\right)} \]

       7. add-cube-cbrt 98.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}}}\right)} \]

       8. sqrt-prod 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 98.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)\right)} \]

       10. associate-*l* 98.4%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)\right)}\right)} \]

       11. add-sqr-sqrt 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x}}\right)\right)} \]

       12. associate-*l* 98.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

       13. add-sqr-sqrt 98.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

       14. pow1/3 99.0%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

       15. pow1/3 98.6%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-10}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}, {\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}\\ \left(\frac{t\_0}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{x}\right) - \frac{t\_0 \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))))
   (-
    (+
     (* (/ t_0 (pow x 2.0)) -0.1111111111111111)
     (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt x) x)))
    (/ (* t_0 -0.06172839506172839) (pow x 3.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0));
	return (((t_0 / pow(x, 2.0)) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * (cbrt(x) / x))) - ((t_0 * -0.06172839506172839) / pow(x, 3.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0));
	return (((t_0 / Math.pow(x, 2.0)) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * (Math.cbrt(x) / x))) - ((t_0 * -0.06172839506172839) / Math.pow(x, 3.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(t_0 / (x ^ 2.0)) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(x) / x))) - Float64(Float64(t_0 * -0.06172839506172839) / (x ^ 3.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(t$95$0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 * -0.06172839506172839), $MachinePrecision] / N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{-0.08487654320987655 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2} + 0.023148148148148147 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{3}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)\right) + -1 \cdot \frac{-0.08487654320987655 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2} + 0.023148148148148147 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{3}}} \]

   2. mul-1-neg 0.0%

      \[\leadsto \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)\right) + \color{blue}{\left(-\frac{-0.08487654320987655 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2} + 0.023148148148148147 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{3}}\right)} \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 98.8%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot \sqrt{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   2. sqrt-unprod 48.5%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\left(-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}\right) \cdot \left(-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}\right)}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   3. mul-1-neg 48.5%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\left(-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}\right)} \cdot \left(-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}\right)}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   4. mul-1-neg 48.5%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}\right) \cdot \color{blue}{\left(-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}\right)}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   5. sqr-neg 48.5%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1} \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   6. unpow-1 48.5%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   7. unpow-1 48.5%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{\frac{-1}{x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   8. frac-times 48.6%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   9. metadata-eval 48.6%

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   10. frac-times 48.6%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\frac{-1 \cdot -1}{x \cdot x}}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   11. metadata-eval 48.6%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot x}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   12. unpow2 48.6%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   13. clear-num 48.5%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\frac{{x}^{2}}{1}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   14. /-rgt-identity 48.5%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{{x}^{2}}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   15. unpow2 48.5%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   16. sqrt-prod 98.9%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   17. add-sqr-sqrt 99.0%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{x}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   18. expm1-log1p-u 93.3%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   19. expm1-udef 93.3%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)} - 1}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

9. Applied egg-rr 93.3%

   \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)} - 1}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 93.3%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

    2. expm1-log1p 99.0%

       \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

11. Simplified 99.0%

    \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

12. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \left(\frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}\\ \left(-0.1111111111111111 \cdot \left(\frac{-1}{x} \cdot \left(\frac{-1}{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) + 0.3333333333333333 \cdot \frac{t\_0}{x}\right) - \frac{t\_0 \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))))
   (-
    (+
     (* -0.1111111111111111 (* (/ -1.0 x) (* (/ -1.0 x) (cbrt x))))
     (* 0.3333333333333333 (/ t_0 x)))
    (/ (* t_0 -0.06172839506172839) (pow x 3.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0));
	return ((-0.1111111111111111 * ((-1.0 / x) * ((-1.0 / x) * cbrt(x)))) + (0.3333333333333333 * (t_0 / x))) - ((t_0 * -0.06172839506172839) / pow(x, 3.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0));
	return ((-0.1111111111111111 * ((-1.0 / x) * ((-1.0 / x) * Math.cbrt(x)))) + (0.3333333333333333 * (t_0 / x))) - ((t_0 * -0.06172839506172839) / Math.pow(x, 3.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))
	return Float64(Float64(Float64(-0.1111111111111111 * Float64(Float64(-1.0 / x) * Float64(Float64(-1.0 / x) * cbrt(x)))) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(t_0 / x))) - Float64(Float64(t_0 * -0.06172839506172839) / (x ^ 3.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(-0.1111111111111111 * N[(N[(-1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 / x), $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(t$95$0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 * -0.06172839506172839), $MachinePrecision] / N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{-0.08487654320987655 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2} + 0.023148148148148147 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{3}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)\right) + -1 \cdot \frac{-0.08487654320987655 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2} + 0.023148148148148147 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{3}}} \]

   2. mul-1-neg 0.0%

      \[\leadsto \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)\right) + \color{blue}{\left(-\frac{-0.08487654320987655 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2} + 0.023148148148148147 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{3}}\right)} \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-inv 98.9%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   2. add-sqr-sqrt 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

   3. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \frac{-1}{x}\right) \cdot \frac{-1}{x}\right)} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]

10. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \left(-0.1111111111111111 \cdot \left(\frac{-1}{x} \cdot \left(\frac{-1}{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\right) - \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}} \cdot -0.06172839506172839}{{x}^{3}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}\\ \frac{t\_0}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{t\_0}{x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))))
   (+
    (* (/ t_0 (pow x 2.0)) -0.1111111111111111)
    (* 0.3333333333333333 (/ t_0 x)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0));
	return ((t_0 / pow(x, 2.0)) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * (t_0 / x));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0));
	return ((t_0 / Math.pow(x, 2.0)) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * (t_0 / x));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))
	return Float64(Float64(Float64(t_0 / (x ^ 2.0)) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(t_0 / x)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(t$95$0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(t$95$0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{{x}^{2}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (Math.pow(t_0, 2.0) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow-to-exp 6.9%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. exp-to-pow 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

   3. flip3-- 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. div-inv 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   5. rem-cube-cbrt 6.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. pow2 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   8. distribute-rgt-out 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. +-commutative 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 8.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. associate--l+ 98.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-inverses 98.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. metadata-eval 98.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 98.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}} \]

   8. fma-def 98.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]

   9. +-commutative 98.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 98.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

8. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

   2. +-commutative 98.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

10. Applied egg-rr 98.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

11. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.8 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.8e+155)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow x -2.0)))
   (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.8e+155) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt(pow(x, -2.0));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.8e+155) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow(x, -2.0));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.8e+155)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt((x ^ -2.0)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.8e+155], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.80000000000000004e155

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 9.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 8.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 8.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 8.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 8.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 6.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 6.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 6.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 94.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 94.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} - 1\right)} \]

      3. metadata-eval 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1 \cdot -1}}{{x}^{2}}}\right)} - 1\right) \]

      4. unpow2 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{\color{blue}{x \cdot x}}}\right)} - 1\right) \]

      5. frac-times 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}}\right)} - 1\right) \]

      6. cbrt-unprod 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}\right)} - 1\right) \]

      7. cbrt-unprod 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}}\right)} - 1\right) \]

      8. frac-times 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1 \cdot -1}{x \cdot x}}}\right)} - 1\right) \]

      9. metadata-eval 10.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot x}}\right)} - 1\right) \]

      10. unpow2 10.4%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}}\right)} - 1\right) \]

      11. pow-flip 10.4%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(-2\right)}}}\right)} - 1\right) \]

      12. metadata-eval 10.4%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{-2}}}\right)} - 1\right) \]

   9. Applied egg-rr 10.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)} - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 95.1%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)\right)} \]

       2. expm1-log1p 95.1%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-2}}} \]

   11. Simplified 95.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-2}}} \]

   if 1.80000000000000004e155 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 4.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 4.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-flip 9.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

   9. Applied egg-rr 89.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.8 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * (Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0)) / x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(\log -1 + -1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right)\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 97.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

8. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 45.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 48.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

7. Simplified 48.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 48.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1 \cdot -1}}{{x}^{2}}} \]

   2. unpow2 48.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   3. frac-times 50.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}} \]

   4. cbrt-unprod 96.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{-1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{-1}{x}}\right)} \]

9. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow-1 96.6%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    2. unpow-1 96.6%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}}\right) \]

    3. pow-sqr 96.6%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}} \]

    4. metadata-eval 96.6%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{-2}} \]

11. Simplified 96.6%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]

12. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 / pow(cbrt(x), 2.0);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 / (cbrt(x) ^ 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 45.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 48.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

7. Simplified 48.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div 48.3%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}} \]

   2. metadata-eval 48.3%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \]

   3. unpow2 48.3%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   4. cbrt-prod 96.6%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   5. un-div-inv 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   6. pow2 96.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

9. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

10. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 92.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.8 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.8e+155)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ -1.0 x) (/ -1.0 x))))
   (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.8e+155) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt(((-1.0 / x) * (-1.0 / x)));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.8e+155) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt(((-1.0 / x) * (-1.0 / x)));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.8e+155)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(-1.0 / x) * Float64(-1.0 / x))));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.8e+155], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(-1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.80000000000000004e155

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 9.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 8.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 8.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 8.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 8.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 8.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 6.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 6.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 6.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 94.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 94.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1 \cdot -1}}{{x}^{2}}} \]

      2. unpow2 94.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

      3. frac-times 95.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}} \]

   9. Applied egg-rr 95.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}} \]

   if 1.80000000000000004e155 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 4.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 4.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-flip 9.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. metadata-eval 89.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

   9. Applied egg-rr 89.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.8 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{-1}{x} \cdot \frac{-1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.3333333333333333d0 * (x ** (-0.6666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return 0.3333333333333333 * math.pow(x, -0.6666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.7%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 45.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 48.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

7. Simplified 48.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 45.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow-flip 47.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   3. pow-pow 89.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

   4. metadata-eval 89.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

   5. metadata-eval 89.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

9. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]

10. Final simplification 89.0%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 4.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

4. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 6.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 6.2%

   \[\leadsto 1 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024040 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :herbie-target
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))