Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 77.9% → 99.5%

Time: 19.6s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t\_0\right) \cdot t\_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 77.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t\_0\right) \cdot t\_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t\_0 \cdot \frac{t\_0}{\sin x}}{0.375} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* t_0 (/ t_0 (sin x))) 0.375)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (t_0 * (t_0 / sin(x))) / 0.375;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (t_0 * (t_0 / sin(x))) / 0.375d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (t_0 * (t_0 / Math.sin(x))) / 0.375;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (t_0 * (t_0 / math.sin(x))) / 0.375

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))) / 0.375)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (t_0 * (t_0 / sin(x))) / 0.375;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.375), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   2. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   4. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   6. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   7. associate-/r* 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{-1}}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   8. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. add0 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x} + 0\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x} + 0\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x}} + 0\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   2. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}}} + 0\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. add0 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   4. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \left(0.5 \cdot x\right)\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

    2. clear-num 99.1%

       \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}}\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

    3. un-div-inv 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

    4. div-inv 99.2%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

    5. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot \color{blue}{0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

11. Applied egg-rr 99.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot 0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

    2. associate-*l/ 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375}} \]

13. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375}} \]

14. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{0.375} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 74.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5e-37)
   (/ 1.0 (/ 1.5 x))
   (* 2.6666666666666665 (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (sin x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5e-37) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5d-37) then
        tmp = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0) / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5e-37) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0) / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5e-37:
		tmp = 1.0 / (1.5 / x)
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0) / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e-37)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.5 / x));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e-37)
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	else
		tmp = 2.6666666666666665 * ((sin((x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5e-37], N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.9999999999999997e-37

   1. Initial program 63.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 63.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 63.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 63.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 40.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 40.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 40.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 40.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 40.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 64.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

   if 4.9999999999999997e-37 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 74.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{-27}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1e-27)
   (/ 1.0 (/ 1.5 x))
   (* (/ 2.6666666666666665 (sin x)) (pow (sin (* x -0.5)) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e-27) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * pow(sin((x * -0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1d-27) then
        tmp = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
    else
        tmp = (2.6666666666666665d0 / sin(x)) * (sin((x * (-0.5d0))) ** 2.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e-27) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = (2.6666666666666665 / Math.sin(x)) * Math.pow(Math.sin((x * -0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1e-27:
		tmp = 1.0 / (1.5 / x)
	else:
		tmp = (2.6666666666666665 / math.sin(x)) * math.pow(math.sin((x * -0.5)), 2.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e-27)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.5 / x));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 / sin(x)) * (sin(Float64(x * -0.5)) ^ 2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1e-27)
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	else
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (sin((x * -0.5)) ^ 2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1e-27], N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1e-27

   1. Initial program 63.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 63.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 63.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 63.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 40.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 40.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 40.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 40.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 40.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 40.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 64.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

   if 1e-27 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. *-lft-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}{\frac{-1}{-1}}} \]

      5. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{-1}{-1}} \]

      6. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{\frac{\frac{-1}{-1}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      7. associate-/r* 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{\color{blue}{\frac{-1}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. neg-mul-1 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{\frac{-1}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      9. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{\frac{-1}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto \frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{\frac{-1}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      11. associate-/r/ 99.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{-1} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 99.2%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{-27}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 74.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{-154}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2e-154)
   (/ 1.0 (/ 1.5 x))
   (/ (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (sin x)) 0.375)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2e-154) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = (pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / sin(x)) / 0.375;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2d-154) then
        tmp = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
    else
        tmp = ((sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0) / sin(x)) / 0.375d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2e-154) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = (Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0) / Math.sin(x)) / 0.375;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2e-154:
		tmp = 1.0 / (1.5 / x)
	else:
		tmp = (math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0) / math.sin(x)) / 0.375
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e-154)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.5 / x));
	else
		tmp = Float64(Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)) / 0.375);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e-154)
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	else
		tmp = ((sin((x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)) / 0.375;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2e-154], N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.375), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.9999999999999999e-154

   1. Initial program 59.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 59.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 59.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 59.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 45.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 45.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 45.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 45.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 44.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 44.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 44.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 59.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

   if 1.9999999999999999e-154 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      2. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      3. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      4. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      6. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      7. associate-/r* 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{-1}}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      8. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add0 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x} + 0\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x} + 0\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x}} + 0\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      2. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}}} + 0\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      3. add0 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      4. associate-/r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \left(0.5 \cdot x\right)\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      5. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   9. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 99.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

       2. clear-num 99.1%

          \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}}\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

       3. un-div-inv 99.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

       4. div-inv 99.2%

          \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

       5. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot \color{blue}{0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot 0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*l/ 99.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot 0.375}} \]

       2. associate-/r* 99.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{0.375}} \]

       3. pow2 99.4%

          \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\sin x}}{0.375} \]

   13. Applied egg-rr 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{-154}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t\_0}{\sin x} \cdot \left(t\_0 \cdot 2.6666666666666665\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (* (/ t_0 (sin x)) (* t_0 2.6666666666666665))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (t_0 / sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (t_0 / sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (t_0 / Math.sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (t_0 / math.sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(t_0 / sin(x)) * Float64(t_0 * 2.6666666666666665))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (t_0 / sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * 2.6666666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 2.6666666666666665\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ t\_0 \cdot \left(\frac{t\_0}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (* t_0 (* (/ t_0 (sin x)) 2.6666666666666665))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 * ((t_0 / sin(x)) * 2.6666666666666665);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 * ((t_0 / sin(x)) * 2.6666666666666665d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 * ((t_0 / Math.sin(x)) * 2.6666666666666665);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 * ((t_0 / math.sin(x)) * 2.6666666666666665)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 * Float64(Float64(t_0 / sin(x)) * 2.6666666666666665))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 * ((t_0 / sin(x)) * 2.6666666666666665);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 2.6666666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   2. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   4. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   6. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   7. associate-/r* 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{-1}}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   8. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

6. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 74.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00018:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos x}{2}}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.00018)
   (/ 1.0 (/ 1.5 x))
   (* 2.6666666666666665 (/ (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)) (sin x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.00018) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (cos(x) / 2.0)) / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.00018d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0)) / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.00018) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (Math.cos(x) / 2.0)) / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.00018:
		tmp = 1.0 / (1.5 / x)
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (math.cos(x) / 2.0)) / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.00018)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.5 / x));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)) / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.00018)
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	else
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (cos(x) / 2.0)) / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.00018], N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.80000000000000011e-4

   1. Initial program 64.6%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 64.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 64.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 64.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 39.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 39.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 39.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 39.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 39.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 65.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

   if 1.80000000000000011e-4 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00018:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos x}{2}}{\sin x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 74.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00018:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.00018)
   (/ 1.0 (/ 1.5 x))
   (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) (+ 0.5 (* -0.5 (cos x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.00018) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 + (-0.5 * cos(x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.00018d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos(x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.00018) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / (0.5 + (-0.5 * Math.cos(x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.00018:
		tmp = 1.0 / (1.5 / x)
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / (0.5 + (-0.5 * math.cos(x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.00018)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.5 / x));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.00018)
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 + (-0.5 * cos(x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.00018], N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.80000000000000011e-4

   1. Initial program 64.6%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 64.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 64.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 64.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 39.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 39.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 39.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 39.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 39.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 65.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

   if 1.80000000000000011e-4 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. clear-num 98.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}} \]

       2. un-div-inv 98.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}} \]

       3. sub-neg 98.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       4. div-inv 98.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       5. metadata-eval 98.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       6. distribute-rgt-neg-in 98.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + \color{blue}{\cos x \cdot \left(-0.5\right)}}} \]

       7. metadata-eval 98.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + \cos x \cdot \color{blue}{-0.5}}} \]

   11. Applied egg-rr 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + \cos x \cdot -0.5}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00018:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 74.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00022:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.00022)
   (/ 1.0 (/ 1.5 x))
   (/ (+ 1.3333333333333333 (* (cos x) -1.3333333333333333)) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.00022) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = (1.3333333333333333 + (cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.00022d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
    else
        tmp = (1.3333333333333333d0 + (cos(x) * (-1.3333333333333333d0))) / sin(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.00022) {
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	} else {
		tmp = (1.3333333333333333 + (Math.cos(x) * -1.3333333333333333)) / Math.sin(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.00022:
		tmp = 1.0 / (1.5 / x)
	else:
		tmp = (1.3333333333333333 + (math.cos(x) * -1.3333333333333333)) / math.sin(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.00022)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.5 / x));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.3333333333333333 + Float64(cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.00022)
		tmp = 1.0 / (1.5 / x);
	else
		tmp = (1.3333333333333333 + (cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.00022], N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.3333333333333333 + N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * -1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.20000000000000008e-4

   1. Initial program 64.6%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 64.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 64.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 64.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 39.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 39.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 39.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 39.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 39.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 39.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 39.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 65.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

   if 2.20000000000000008e-4 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      2. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      3. sin-mult 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

      4. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      6. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

      2. +-inverses 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      3. cos-0 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      4. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

      5. distribute-rgt-out 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

      6. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

      7. *-rgt-identity 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

   9. Simplified 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 97.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

       2. clear-num 97.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       3. sub-neg 97.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

       4. distribute-lft-in 97.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

       5. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

       6. div-inv 97.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

       7. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 97.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

       9. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   11. Applied egg-rr 97.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 97.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1.3333333333333333 + -1.3333333333333333 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 97.7%

          \[\leadsto \frac{1.3333333333333333 + \color{blue}{\cos x \cdot -1.3333333333333333}}{\sin x} \]

   14. Simplified 97.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00022:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1.5}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 53.9% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sin (* x 0.5)) 1.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) * 1.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) * 1.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   2. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   4. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   6. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   7. associate-/r* 99.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{-1}}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   8. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

6. Final simplification 53.5%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 11: 50.2% accurate, 28.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x \cdot -0.125 + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (+ (* x -0.125) (* 1.5 (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / ((x * (-0.125d0)) + (1.5d0 * (1.0d0 / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(x * -0.125) + Float64(1.5 * Float64(1.0 / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(x * -0.125), $MachinePrecision] + N[(1.5 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf 73.6%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 73.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   2. pow2 73.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   3. sin-mult 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

   4. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

   5. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

   6. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

7. Applied egg-rr 54.8%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-sub 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

   2. +-inverses 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

   3. cos-0 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

   4. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

   5. distribute-rgt-out 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

   6. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. *-rgt-identity 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

9. Simplified 54.8%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ 54.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

    2. clear-num 54.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

    3. sub-neg 54.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

    4. distribute-lft-in 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

    5. metadata-eval 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

    6. div-inv 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

    7. metadata-eval 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

    8. distribute-rgt-neg-in 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

    9. metadata-eval 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

11. Applied egg-rr 54.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

12. Taylor expanded in x around 0 49.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-0.125 \cdot x + 1.5 \cdot \frac{1}{x}}} \]

13. Final simplification 49.2%

    \[\leadsto \frac{1}{x \cdot -0.125 + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 49.7% accurate, 62.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{1.5}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (/ 1.5 x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (1.5 / x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (1.5d0 / x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (1.5 / x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (1.5 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(1.5 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (1.5 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf 73.6%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 73.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   2. pow2 73.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   3. sin-mult 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}{\sin x} \]

   4. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

   5. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - \color{blue}{0.5 \cdot x}\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

   6. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(\color{blue}{0.5 \cdot x} + x \cdot 0.5\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + \color{blue}{0.5 \cdot x}\right)}{2}}{\sin x} \]

7. Applied egg-rr 54.8%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right) - \cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-sub 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(0.5 \cdot x - 0.5 \cdot x\right)}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}}{\sin x} \]

   2. +-inverses 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

   3. cos-0 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

   4. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(0.5 \cdot x + 0.5 \cdot x\right)}{2}}{\sin x} \]

   5. distribute-rgt-out 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x} \]

   6. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}{\sin x} \]

   7. *-rgt-identity 54.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}{\sin x} \]

9. Simplified 54.8%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ 54.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}{\sin x}} \]

    2. clear-num 54.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

    3. sub-neg 54.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)\right)}}} \]

    4. distribute-lft-in 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

    5. metadata-eval 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}} \]

    6. div-inv 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

    7. metadata-eval 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

    8. distribute-rgt-neg-in 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

    9. metadata-eval 54.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

11. Applied egg-rr 54.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1.3333333333333333 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}} \]

12. Taylor expanded in x around 0 48.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1.5}{x}}} \]

13. Final simplification 48.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{1.5}{x}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 3.5% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot -7.111111111111111 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x -7.111111111111111))

C

double code(double x) {
	return x * -7.111111111111111;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (-7.111111111111111d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * -7.111111111111111;
}

Python

def code(x):
	return x * -7.111111111111111

Julia

function code(x)
	return Float64(x * -7.111111111111111)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * -7.111111111111111;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * -7.111111111111111), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 73.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

3. Simplified 73.6%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 48.8%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot x\right)} \]

7. Simplified 3.7%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -2.6666666666666665\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 3.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-7.111111111111111 \cdot x} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 3.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot -7.111111111111111} \]

10. Simplified 3.7%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot -7.111111111111111} \]

11. Final simplification 3.7%

    \[\leadsto x \cdot -7.111111111111111 \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 49.6% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 73.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 48.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]

7. Simplified 48.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

8. Final simplification 48.8%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t\_0}{3}}{\frac{\sin x}{t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024034 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))