bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.7% → 97.2%

Time: 18.1s

Alternatives: 3

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.6511705615296513e+145

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  0.16666666666666666
  (pow x 2.0)
  (fma
   -0.005555555555555556
   (pow x 4.0)
   (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0)))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), fma(-0.005555555555555556, pow(x, 4.0), (0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0))));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), fma(-0.005555555555555556, (x ^ 4.0), Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] + N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. +-commutative 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   3. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   4. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

5. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

6. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 72.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (sqrt (* (pow x 2.0) 0.027777777777777776))))

C

double code(double x) {
	return x * sqrt((pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * sqrt(((x ** 2.0d0) * 0.027777777777777776d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * Math.sqrt((Math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776));
}

Python

def code(x):
	return x * math.sqrt((math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * sqrt(Float64((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * sqrt(((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[Sqrt[N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]

   2. expm1-log1p-u 97.4%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   3. sqrt-prod 97.5%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{2}}\right)} \]

   4. unpow2 97.5%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}\right) \]

   5. sqrt-prod 46.7%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}\right) \]

   6. add-sqr-sqrt 73.1%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{x}\right) \]

   7. associate-*r* 73.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]

   8. expm1-log1p-u 73.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

   9. *-commutative 73.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

   10. sqrt-prod 73.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

   11. unpow2 73.2%

       \[\leadsto \left(\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

   12. sqrt-prod 46.8%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

   13. add-sqr-sqrt 97.6%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

7. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)} \cdot x \]

   2. add-sqr-sqrt 46.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

   3. unswap-sqr 46.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)} \cdot x \]

   4. sqrt-prod 46.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

   5. sqrt-prod 46.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}}\right) \cdot x \]

   6. *-commutative 46.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot x}} \cdot \sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

   7. *-commutative 46.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot x}}\right) \cdot x \]

   8. sqrt-unprod 73.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}} \cdot x \]

   9. *-commutative 73.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]

   10. *-commutative 73.2%

       \[\leadsto \sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot x \]

   11. swap-sqr 73.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot x \]

   12. pow2 73.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x \]

   13. metadata-eval 73.2%

       \[\leadsto \sqrt{{x}^{2} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \cdot x \]

9. Applied egg-rr 73.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot x \]

10. Final simplification 73.2%

    \[\leadsto x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* 0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.16666666666666666d0 * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Python

def code(x):
	return x * (0.16666666666666666 * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.16666666666666666 * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. unpow2 97.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024031 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))