UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 98.9%

Time: 26.8s

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(t\_1 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (+
     (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) t_1) xi)
     (* (* t_1 (log1p (expm1 (sin (* uy (* 2.0 PI)))))) yi))
    (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * t_1) * xi) + ((t_1 * log1pf(expm1f(sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI))))))) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * t_1) * xi) + Float32(Float32(t_1 * log1p(expm1(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))))) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. log1p-expm1-u 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t\_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(t\_1 \cdot \cos \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \left(t\_1 \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (* t_0 zi)
    (+
     (* xi (* t_1 (cos (expm1 (log1p (* uy (* 2.0 PI)))))))
     (* yi (* t_1 (sin (* (* uy 2.0) PI))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (t_0 * zi) + ((xi * (t_1 * cosf(expm1f(log1pf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))))))) + (yi * (t_1 * sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(t_0 * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(t_1 * cos(expm1(log1p(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))))))) + Float32(yi * Float32(t_1 * sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. expm1-log1p-u 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + t\_1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t\_1 \cdot zi + \left(\left(\cos t\_0 \cdot t\_2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(t\_2 \cdot \sin t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) PI))
        (t_1 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* t_1 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+ (* t_1 zi) (+ (* (* (cos t_0) t_2) xi) (* yi (* t_2 (sin t_0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	float t_1 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_2 = sqrtf((1.0f + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (t_1 * zi) + (((cosf(t_0) * t_2) * xi) + (yi * (t_2 * sinf(t_0))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	t_1 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(t_1 * zi) + Float32(Float32(Float32(cos(t_0) * t_2) * xi) + Float32(yi * Float32(t_2 * sin(t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	t_1 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_2 = sqrt((single(1.0) + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	tmp = (t_1 * zi) + (((cos(t_0) * t_2) * xi) + (yi * (t_2 * sin(t_0))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right) \]
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos t\_0 + \sin t\_0 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    (* (- 1.0 ux) maxCos)
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt
      (- 1.0 (* maxCos (* (* (* ux ux) (* maxCos (+ ux -1.0))) (+ ux -1.0)))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* (sin t_0) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(((1.0f - ux) * maxCos), (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (maxCos * (((ux * ux) * (maxCos * (ux + -1.0f))) * (ux + -1.0f))))) * ((xi * cosf(t_0)) + (sinf(t_0) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(sin(t_0) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t\_1 \cdot zi + \left(\left(\cos t\_0 \cdot \sqrt{1 + t\_1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) PI)) (t_1 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* t_1 zi)
    (+
     (* (* (cos t_0) (sqrt (+ 1.0 (* t_1 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))) xi)
     (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	float t_1 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (t_1 * zi) + (((cosf(t_0) * sqrtf((1.0f + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * xi) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	t_1 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(t_1 * zi) + Float32(Float32(Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	t_1 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (t_1 * zi) + (((cos(t_0) * sqrt((single(1.0) + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * xi) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t\_0 \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* t_0 zi)
    (+
     (*
      (*
       (cos (* (* uy 2.0) PI))
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
      xi)
     (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (t_0 * zi) + (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * xi) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(t_0 * zi) + Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (t_0 * zi) + (((cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * xi) + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. log1p-expm1-u 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 91.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 91.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 91.1%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 91.1%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t\_0 \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* t_0 zi)
    (+
     (*
      (*
       (cos (* (* uy 2.0) PI))
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
      xi)
     (* PI (* 2.0 (* uy yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (t_0 * zi) + (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * xi) + (((float) M_PI) * (2.0f * (uy * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(t_0 * zi) + Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (t_0 * zi) + (((cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * xi) + (single(pi) * (single(2.0) * (uy * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. log1p-expm1-u 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 91.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot 2\right)} \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*l* 91.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 91.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 91.2%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024031 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))