2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.9% → 98.7%

Time: 23.4s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.7% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}} + t\_0, \left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.8333333333333334}}\right) \cdot t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (* (pow x 0.16666666666666666) (cbrt (sqrt x))) t_0)
     (*
      (*
       (cbrt (pow (+ 1.0 x) 0.16666666666666666))
       (cbrt (pow (+ 1.0 x) 0.8333333333333334)))
      t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), ((pow(x, 0.16666666666666666) * cbrt(sqrt(x))) + t_0), ((cbrt(pow((1.0 + x), 0.16666666666666666)) * cbrt(pow((1.0 + x), 0.8333333333333334))) * t_0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(Float64((x ^ 0.16666666666666666) * cbrt(sqrt(x))) + t_0), Float64(Float64(cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 0.16666666666666666)) * cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 0.8333333333333334))) * t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sqrt[x], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.16666666666666666], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.8333333333333334], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. log-pow 93.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   9. add-exp-log 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. pow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   2. *-rgt-identity 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left(x \cdot 1\right)}}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   4. associate-*l* 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \left(\sqrt{x} \cdot 1\right)\right)}}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   5. unpow-prod-down 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   6. pow1/2 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left({x}^{0.5}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   7. pow-pow 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{x}^{\left(0.5 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   8. metadata-eval 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

10. Applied egg-rr 94.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. *-rgt-identity 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

12. Simplified 95.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow1/3 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. add-cube-cbrt 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, {\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. add-sqr-sqrt 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, {\left(\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, {\color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. unpow-prod-down 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \color{blue}{\left({\left(\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

14. Applied egg-rr 94.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \color{blue}{\left({\left({\left(x + 1\right)}^{0.8333333333333334}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 94.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \left({\left({\left(x + 1\right)}^{0.8333333333333334}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}}}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. *-commutative 94.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot {\left({\left(x + 1\right)}^{0.8333333333333334}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. +-commutative 94.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.16666666666666666}} \cdot {\left({\left(x + 1\right)}^{0.8333333333333334}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. unpow1/3 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{0.8333333333333334}}}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. +-commutative 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.8333333333333334}}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

16. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.8333333333333334}}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

17. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {x}^{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{1 + x}, \left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{0.8333333333333334}}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{x}}\\ t_1 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot t\_0, \sqrt[3]{x} + t\_1, {t\_1}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (sqrt x))) (t_1 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (* t_0 t_0) (+ (cbrt x) t_1) (pow t_1 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(sqrt(x));
	double t_1 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma((t_0 * t_0), (cbrt(x) + t_1), pow(t_1, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(sqrt(x))
	t_1 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(Float64(t_0 * t_0), Float64(cbrt(x) + t_1), (t_1 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. log-pow 93.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   9. add-exp-log 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. pow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   3. unpow-prod-down 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   4. pow-prod-up 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} \]

   5. metadata-eval 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} \]

10. Applied egg-rr 93.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.6666666666666666}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}}^{0.6666666666666666}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. metadata-eval 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. pow-sqr 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. unpow1/3 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. *-rgt-identity 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    6. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    7. *-rgt-identity 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

12. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow2 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

14. Applied egg-rr 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

15. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 22.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0 - {x}^{0.3333333333333333}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 5e-11)
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) 1.0))
     (+
      (pow (+ 1.0 x) 0.3333333333333333)
      (- 0.0 (pow x 0.3333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 5e-11) {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), 1.0);
	} else {
		tmp = pow((1.0 + x), 0.3333333333333333) + (0.0 - pow(x, 0.3333333333333333));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 5e-11)
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), 1.0));
	else
		tmp = Float64((Float64(1.0 + x) ^ 0.3333333333333333) + Float64(0.0 - (x ^ 0.3333333333333333)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 5e-11], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[Power[x, 0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 5.00000000000000018e-11

   1. Initial program 4.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 5.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 93.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 93.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 93.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 93.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 92.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 92.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]

   if 5.00000000000000018e-11 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 55.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 51.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   4. Applied egg-rr 51.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - {x}^{0.3333333333333333} \]

   6. Applied egg-rr 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - {x}^{0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 21.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0 - {x}^{0.3333333333333333}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t\_0, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t\_0, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))))
   (if (<= x 2e+153)
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) t_0 (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0))))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) t_0 (pow (cbrt x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(x) + cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if (x <= 2e+153) {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), t_0, cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), t_0, pow(cbrt(x), 2.0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x)))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+153)
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), t_0, cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), t_0, (cbrt(x) ^ 2.0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+153], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0 + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0 + N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2e153

   1. Initial program 9.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 11.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 11.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 12.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 15.4%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 15.4%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 15.4%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 15.4%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 15.4%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 15.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 15.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 15.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 15.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 15.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 94.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 94.5%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 94.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 94.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 93.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 93.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 93.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. prod-exp 93.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      3. pow-prod-down 95.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

      4. pow2 95.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

      5. pow-exp 94.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

      6. log1p-udef 94.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      7. +-commutative 94.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      8. log-pow 95.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      9. add-exp-log 94.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

      10. pow1/3 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

      11. pow2 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

      12. cbrt-unprod 98.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}\right)} \]

   if 2e153 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 92.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 92.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 91.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 91.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 91.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \cdot \sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

      2. sqrt-unprod 51.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

      3. pow-prod-down 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666} \cdot e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

      4. prod-exp 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{{\color{blue}{\left(e^{0.6666666666666666 + 0.6666666666666666}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

      5. metadata-eval 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{{\left(e^{\color{blue}{1.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{1.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 4.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow1/3 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}\right)} \]

   11. Simplified 4.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)\right)}\right)} \]

       2. expm1-udef 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)} - 1}\right)} \]

       3. add-cbrt-cube 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}}\right)} - 1\right)} \]

       4. pow1/3 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} - 1\right)} \]

       5. sqrt-unprod 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       6. sqrt-prod 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       7. add-cube-cbrt 4.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       8. sqrt-pow1 5.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       9. metadata-eval 5.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left({x}^{\color{blue}{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       10. pow2 5.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       11. pow-prod-down 92.4%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333}}\right)} - 1\right)} \]

       12. pow2 92.4%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

       13. unpow1/3 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   13. Applied egg-rr 93.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

       2. expm1-log1p 98.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)} \]

   15. Simplified 98.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ t_1 := \sqrt[3]{x} + t\_0\\ \mathbf{if}\;x \leq 9.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + x\right) - x}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t\_1, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))) (t_1 (+ (cbrt x) t_0)))
   (if (<= x 9.2e+14)
     (/ (- (+ 1.0 x) x) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) t_1)))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) t_1 (pow (cbrt x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double t_1 = cbrt(x) + t_0;
	double tmp;
	if (x <= 9.2e+14) {
		tmp = ((1.0 + x) - x) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * t_1));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), t_1, pow(cbrt(x), 2.0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	t_1 = Float64(cbrt(x) + t_0)
	tmp = 0.0
	if (x <= 9.2e+14)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + x) - x) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * t_1)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), t_1, (cbrt(x) ^ 2.0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 9.2e+14], N[(N[(N[(1.0 + x), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$1 + N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.2e14

   1. Initial program 55.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 51.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

   4. Applied egg-rr 51.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 51.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} - \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right) \]

      2. expm1-log1p-u 55.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

      3. flip3-- 74.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      4. rem-cube-cbrt 72.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 72.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. rem-cube-cbrt 98.6%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. cbrt-prod 98.7%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      8. +-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot \left(1 + x\right)} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      9. +-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      10. cbrt-unprod 98.6%

          \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      11. pow2 98.6%

          \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      12. +-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      13. distribute-rgt-out 98.6%

          \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      14. +-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   if 9.2e14 < x

   1. Initial program 4.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 5.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 5.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 5.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 93.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 93.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 93.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 93.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 92.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 92.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \cdot \sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

      2. sqrt-unprod 69.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

      3. pow-prod-down 70.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666} \cdot e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

      4. prod-exp 70.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{{\color{blue}{\left(e^{0.6666666666666666 + 0.6666666666666666}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

      5. metadata-eval 70.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{{\left(e^{\color{blue}{1.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 70.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{1.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 24.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow1/3 25.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}\right)} \]

   11. Simplified 25.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 24.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)\right)}\right)} \]

       2. expm1-udef 24.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)} - 1}\right)} \]

       3. add-cbrt-cube 24.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}}\right)} - 1\right)} \]

       4. pow1/3 24.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} - 1\right)} \]

       5. sqrt-unprod 24.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       6. sqrt-prod 24.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       7. add-cube-cbrt 24.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       8. sqrt-pow1 45.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       9. metadata-eval 45.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left({x}^{\color{blue}{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       10. pow2 45.0%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} - 1\right)} \]

       11. pow-prod-down 93.4%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333}}\right)} - 1\right)} \]

       12. pow2 93.4%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

       13. unpow1/3 94.0%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   13. Applied egg-rr 94.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 94.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

       2. expm1-log1p 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)} \]

   15. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 9.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + x\right) - x}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. log-pow 93.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   9. add-exp-log 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. pow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow2 98.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

11. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (fma
   (cbrt x)
   (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
   (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. log-pow 93.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   9. add-exp-log 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. pow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow2 98.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

   2. pow1/3 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left({\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}\right)} \]

   4. pow-pow 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}}\right)} \]

   5. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 93.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

11. Final simplification 93.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {x}^{0.6666666666666666}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) (pow x 0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow(x, 0.6666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (x ^ 0.6666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[x, 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 7.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \cdot \sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

   2. sqrt-unprod 71.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

   3. pow-prod-down 72.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666} \cdot e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

   4. prod-exp 72.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{{\color{blue}{\left(e^{0.6666666666666666 + 0.6666666666666666}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   5. metadata-eval 72.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{{\left(e^{\color{blue}{1.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 72.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(e^{1.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around inf 26.7%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 27.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}\right)} \]

11. Simplified 27.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. add-cbrt-cube 27.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}}}\right)} \]

    2. pow1/3 26.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\left(\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

    3. sqrt-unprod 26.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    4. sqrt-prod 26.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    5. add-cube-cbrt 26.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{4}}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    6. sqrt-pow1 45.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    7. metadata-eval 45.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left({x}^{\color{blue}{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    8. pow2 45.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} \]

    9. pow-prod-down 91.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

    10. pow-prod-up 91.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{x}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

    11. metadata-eval 91.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {x}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

13. Applied egg-rr 91.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{x}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

14. Final simplification 91.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {x}^{0.6666666666666666}\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 9: 8.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} - {x}^{0.25} \cdot {x}^{0.08333333333333333} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (* (pow x 0.25) (pow x 0.08333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) - (pow(x, 0.25) * pow(x, 0.08333333333333333));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) - (Math.pow(x, 0.25) * Math.pow(x, 0.08333333333333333));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - Float64((x ^ 0.25) * (x ^ 0.08333333333333333)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[(N[Power[x, 0.25], $MachinePrecision] * N[Power[x, 0.08333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {x}^{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 + 0.16666666666666666\right)}} \]

   2. pow-prod-up 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   3. metadata-eval 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {x}^{\color{blue}{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \cdot {x}^{0.16666666666666666} \]

   4. sqrt-pow2 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot {x}^{0.16666666666666666} \]

   5. pow1/3 7.9%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x}}} \cdot {x}^{0.16666666666666666} \]

   6. sqr-pow 7.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.16666666666666666}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.16666666666666666}{2}\right)}\right)} \]

   7. associate-*r* 7.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot {x}^{\left(\frac{0.16666666666666666}{2}\right)}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{0.16666666666666666}{2}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 7.9%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.25} \cdot {x}^{0.08333333333333333}} \]

7. Final simplification 7.9%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - {x}^{0.25} \cdot {x}^{0.08333333333333333} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 8.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{0.6666666666666666} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (pow (sqrt x) 0.6666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) - pow(sqrt(x), 0.6666666666666666);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.pow(Math.sqrt(x), 0.6666666666666666);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - (sqrt(x) ^ 0.6666666666666666))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[N[Sqrt[x], $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   3. unpow-prod-down 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   4. pow-prod-up 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} \]

   5. metadata-eval 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} \]

4. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.6666666666666666}} \]

5. Final simplification 7.7%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{0.6666666666666666} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 11: 8.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 8e+15) (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 8e+15) {
		tmp = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 8e+15) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 8e+15)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 8e+15], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 8e15

   1. Initial program 53.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   if 8e15 < x

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 5.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 8.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 8.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} + \left(0 - {x}^{0.3333333333333333}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (cbrt (+ 1.0 x)) (- 0.0 (pow x 0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) + (0.0 - pow(x, 0.3333333333333333));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) + (0.0 - Math.pow(x, 0.3333333333333333));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) + Float64(0.0 - (x ^ 0.3333333333333333)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[Power[x, 0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

5. Final simplification 7.7%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} + \left(0 - {x}^{0.3333333333333333}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 13: 4.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

4. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 6.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 6.2%

   \[\leadsto 1 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024031 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :herbie-target
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))