bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 95.4% → 97.4%

Time: 9.5s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.6511705615296513e+145

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 95.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 2.5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x\_m}{x\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x\_m}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x\_m}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x\_m}^{6}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 2.5e-14)
   (log (/ (sinh x_m) x_m))
   (fma
    0.16666666666666666
    (pow x_m 2.0)
    (fma
     -0.005555555555555556
     (pow x_m 4.0)
     (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.5e-14) {
		tmp = log((sinh(x_m) / x_m));
	} else {
		tmp = fma(0.16666666666666666, pow(x_m, 2.0), fma(-0.005555555555555556, pow(x_m, 4.0), (0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0))));
	}
	return tmp;
}

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 2.5e-14)
		tmp = log(Float64(sinh(x_m) / x_m));
	else
		tmp = fma(0.16666666666666666, (x_m ^ 2.0), fma(-0.005555555555555556, (x_m ^ 4.0), Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 2.5e-14], N[Log[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] + N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.5000000000000001e-14

   1. Initial program 98.3%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 2.5000000000000001e-14 < x

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 54.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 54.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

      2. +-commutative 54.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

      3. fma-def 54.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

      4. fma-def 54.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

   5. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 2.5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x\_m}{x\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 2.5e-14)
   (log (/ (sinh x_m) x_m))
   (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.5e-14) {
		tmp = log((sinh(x_m) / x_m));
	} else {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 2.5d-14) then
        tmp = log((sinh(x_m) / x_m))
    else
        tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.5e-14) {
		tmp = Math.log((Math.sinh(x_m) / x_m));
	} else {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 2.5e-14:
		tmp = math.log((math.sinh(x_m) / x_m))
	else:
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 2.5e-14)
		tmp = log(Float64(sinh(x_m) / x_m));
	else
		tmp = Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 2.5e-14)
		tmp = log((sinh(x_m) / x_m));
	else
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 2.5e-14], N[Log[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.5000000000000001e-14

   1. Initial program 98.3%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 2.5000000000000001e-14 < x

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 55.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 55.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      2. pow1/3 53.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      3. pow3 53.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      4. *-commutative 53.2%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      5. unpow-prod-down 53.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      6. unpow2 53.2%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      7. pow-prod-down 53.2%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      8. pow-sqr 53.1%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      9. metadata-eval 53.1%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      10. metadata-eval 53.1%

          \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. Applied egg-rr 53.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow-prod-down 53.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-pow 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(6 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333} \]

      3. metadata-eval 56.1%

         \[\leadsto {x}^{\color{blue}{2}} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333} \]

      4. unpow1/3 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629}} \]

      5. metadata-eval 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \]

      6. metadata-eval 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \]

      7. rem-square-sqrt 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      8. pow2 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      9. rem-square-sqrt 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      10. pow2 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      11. rem-square-sqrt 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \]

      12. pow2 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}} \]

      13. add-cbrt-cube 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

      14. unpow-prod-down 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

      15. unpow2 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

      16. *-commutative 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \]

      17. *-commutative 56.1%

          \[\leadsto \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

      18. swap-sqr 55.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      19. rem-square-sqrt 55.8%

          \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      20. associate-*l* 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

      21. *-commutative 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x \]

   7. Applied egg-rr 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 85.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 2.5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;0.0003527336860670194 \cdot {x\_m}^{6}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 2.5e-14)
   (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))
   (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.5e-14) {
		tmp = 0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0);
	} else {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 2.5d-14) then
        tmp = 0.0003527336860670194d0 * (x_m ** 6.0d0)
    else
        tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.5e-14) {
		tmp = 0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0);
	} else {
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 2.5e-14:
		tmp = 0.0003527336860670194 * math.pow(x_m, 6.0)
	else:
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 2.5e-14)
		tmp = Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0));
	else
		tmp = Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 2.5e-14)
		tmp = 0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0);
	else
		tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 2.5e-14], N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.5000000000000001e-14

   1. Initial program 98.3%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 51.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

      2. +-commutative 51.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

      3. fma-def 51.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

      4. fma-def 51.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

   5. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 82.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}} \]

   if 2.5000000000000001e-14 < x

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 55.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 55.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      2. pow1/3 53.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      3. pow3 53.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      4. *-commutative 53.2%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      5. unpow-prod-down 53.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      6. unpow2 53.2%

         \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      7. pow-prod-down 53.2%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      8. pow-sqr 53.1%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      9. metadata-eval 53.1%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

      10. metadata-eval 53.1%

          \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. Applied egg-rr 53.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow-prod-down 53.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-pow 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(6 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333} \]

      3. metadata-eval 56.1%

         \[\leadsto {x}^{\color{blue}{2}} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333} \]

      4. unpow1/3 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629}} \]

      5. metadata-eval 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \]

      6. metadata-eval 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \]

      7. rem-square-sqrt 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      8. pow2 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      9. rem-square-sqrt 55.8%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      10. pow2 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      11. rem-square-sqrt 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \]

      12. pow2 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}} \]

      13. add-cbrt-cube 55.8%

          \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

      14. unpow-prod-down 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

      15. unpow2 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

      16. *-commutative 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \]

      17. *-commutative 56.1%

          \[\leadsto \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

      18. swap-sqr 55.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      19. rem-square-sqrt 55.8%

          \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      20. associate-*l* 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

      21. *-commutative 56.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x \]

   7. Applied egg-rr 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 54.1% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 96.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 51.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 80.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. pow1/3 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 80.8%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   4. *-commutative 80.8%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. unpow-prod-down 80.8%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow2 80.8%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   7. pow-prod-down 80.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-sqr 80.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. metadata-eval 80.8%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 80.8%

       \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

5. Applied egg-rr 80.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-prod-down 80.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow-pow 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(6 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333} \]

   3. metadata-eval 51.5%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{2}} \cdot {0.004629629629629629}^{0.3333333333333333} \]

   4. unpow1/3 51.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629}} \]

   5. metadata-eval 51.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \]

   6. metadata-eval 51.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \]

   7. rem-square-sqrt 51.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   8. pow2 51.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   9. rem-square-sqrt 51.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   10. pow2 51.5%

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   11. rem-square-sqrt 51.5%

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \]

   12. pow2 51.5%

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}} \]

   13. add-cbrt-cube 51.5%

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

   14. unpow-prod-down 51.6%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

   15. unpow2 51.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   16. *-commutative 51.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \]

   17. *-commutative 51.6%

       \[\leadsto \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   18. swap-sqr 51.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   19. rem-square-sqrt 51.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   20. associate-*l* 51.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   21. *-commutative 51.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x \]

7. Applied egg-rr 51.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 51.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 55.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024031 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))