Logistic function

Percentage Accurate: 99.8% → 99.8%

Time: 15.1s

Alternatives: 13

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq s \land s \leq 1.0651631\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s) :precision binary32 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- x) s)))))

C

float code(float x, float s) {
	return 1.0f / (1.0f + expf((-x / s)));
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    code = 1.0e0 / (1.0e0 + exp((-x / s)))
end function

Julia

function code(x, s)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-x) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, s)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + exp((-x / s)));
end

Initial Program: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s) :precision binary32 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- x) s)))))

C

float code(float x, float s) {
	return 1.0f / (1.0f + expf((-x / s)));
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    code = 1.0e0 / (1.0e0 + exp((-x / s)))
end function

Julia

function code(x, s)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-x) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, s)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + exp((-x / s)));
end

Alternative 1: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s) :precision binary32 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- x) s)))))

C

float code(float x, float s) {
	return 1.0f / (1.0f + expf((-x / s)));
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    code = 1.0e0 / (1.0e0 + exp((-x / s)))
end function

Julia

function code(x, s)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-x) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, s)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + exp((-x / s)));
end

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 60.3% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-x}{s}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 9.999999680285692 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{4 - \frac{x}{s} \cdot \frac{x}{s}}{2 + \frac{x}{s}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(x \cdot \frac{-0.6666666666666666}{s} - \frac{x}{s}\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (- x) s)))
   (if (<= t_0 -5.0)
     0.5
     (if (<= t_0 9.999999680285692e+37)
       (/ 1.0 (/ (- 4.0 (* (/ x s) (/ x s))) (+ 2.0 (/ x s))))
       (/
        1.0
        (+
         1.0
         (+
          1.0
          (+
           (* -0.6666666666666666 (/ x s))
           (- (* x (/ -0.6666666666666666 s)) (/ x s))))))))))

C

float code(float x, float s) {
	float t_0 = -x / s;
	float tmp;
	if (t_0 <= -5.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else if (t_0 <= 9.999999680285692e+37f) {
		tmp = 1.0f / ((4.0f - ((x / s) * (x / s))) / (2.0f + (x / s)));
	} else {
		tmp = 1.0f / (1.0f + (1.0f + ((-0.6666666666666666f * (x / s)) + ((x * (-0.6666666666666666f / s)) - (x / s)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: t_0
    real(4) :: tmp
    t_0 = -x / s
    if (t_0 <= (-5.0e0)) then
        tmp = 0.5e0
    else if (t_0 <= 9.999999680285692e+37) then
        tmp = 1.0e0 / ((4.0e0 - ((x / s) * (x / s))) / (2.0e0 + (x / s)))
    else
        tmp = 1.0e0 / (1.0e0 + (1.0e0 + (((-0.6666666666666666e0) * (x / s)) + ((x * ((-0.6666666666666666e0) / s)) - (x / s)))))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	t_0 = Float32(Float32(-x) / s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(-5.0))
		tmp = Float32(0.5);
	elseif (t_0 <= Float32(9.999999680285692e+37))
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(4.0) - Float32(Float32(x / s) * Float32(x / s))) / Float32(Float32(2.0) + Float32(x / s))));
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-0.6666666666666666) * Float32(x / s)) + Float32(Float32(x * Float32(Float32(-0.6666666666666666) / s)) - Float32(x / s))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	t_0 = -x / s;
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(-5.0))
		tmp = single(0.5);
	elseif (t_0 <= single(9.999999680285692e+37))
		tmp = single(1.0) / ((single(4.0) - ((x / s) * (x / s))) / (single(2.0) + (x / s)));
	else
		tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (single(1.0) + ((single(-0.6666666666666666) * (x / s)) + ((x * (single(-0.6666666666666666) / s)) - (x / s)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 28.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if -5 < (/.f32 (neg.f32 x) s) < 9.99999968e37

   1. Initial program 99.7%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 52.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.3%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 52.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 52.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. flip-+ 69.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}}} \]

      3. metadata-eval 69.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{4} - \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      4. distribute-neg-frac 69.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      5. distribute-neg-frac 69.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \color{blue}{\frac{-x}{s}}}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      6. distribute-neg-frac 69.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \frac{-x}{s}}{2 - \color{blue}{\frac{-x}{s}}}} \]

   7. Applied egg-rr 69.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \frac{-x}{s}}{2 - \frac{-x}{s}}}} \]

   if 9.99999968e37 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{-\frac{x}{s}}}} \]

      2. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{1}{e^{\frac{x}{s}}}}} \]

      3. add-sqr-sqrt -0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}} \]

      4. sqrt-unprod 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}}{s}}}} \]

      5. sqr-neg 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}} \]

      6. sqrt-unprod 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{-x}}{s}}}} \]

      8. add-cube-cbrt 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}} \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}}}} \]

      9. pow3 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{3}}}} \]

      10. pow-flip 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}}} \]

      11. add-sqr-sqrt 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      12. sqrt-unprod 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      13. sqr-neg 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      14. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      15. add-sqr-sqrt 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{x}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      16. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{\color{blue}{-3}}} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{-3}}} \]

   5. Taylor expanded in s around inf 95.7%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      2. metadata-eval 95.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 - -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)}\right)\right)} \]

      4. associate-*r/ 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s}} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)\right)} \]

      5. *-commutative 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)\right)} \]

      6. metadata-eval 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 - -0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right)} \]

      7. distribute-lft-out-- 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \color{blue}{\left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right)} \]

      8. *-commutative 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s}} - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      9. cancel-sign-sub-inv 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right)} \]

      10. *-commutative 2.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      11. distribute-frac-neg 2.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      12. add-sqr-sqrt 2.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      13. sqrt-unprod 4.1%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      14. sqr-neg 4.1%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      15. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      16. add-sqr-sqrt 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{x}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

      17. distribute-lft-out 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot \left(-0.6666666666666666 + -0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right)} \]

      18. metadata-eval 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{-1}\right)\right)\right)} \]

      19. *-rgt-identity 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \frac{\color{blue}{x \cdot 1}}{s} \cdot -1\right)\right)\right)} \]

      20. metadata-eval 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666\right)}}{s} \cdot -1\right)\right)\right)} \]

      21. distribute-rgt-out 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}}{s} \cdot -1\right)\right)\right)} \]

      22. *-commutative 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \color{blue}{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}\right)\right)\right)} \]

      23. add-sqr-sqrt 1.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}} \cdot \sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}}\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(\frac{-0.6666666666666666 \cdot x}{s} - \frac{x}{s}\right)}\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{\frac{-0.6666666666666666}{\frac{s}{x}}} - \frac{x}{s}\right)\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{\frac{-0.6666666666666666}{s} \cdot x} - \frac{x}{s}\right)\right)\right)} \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(\frac{-0.6666666666666666}{s} \cdot x - \frac{x}{s}\right)}\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{elif}\;\frac{-x}{s} \leq 9.999999680285692 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{4 - \frac{x}{s} \cdot \frac{x}{s}}{2 + \frac{x}{s}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(x \cdot \frac{-0.6666666666666666}{s} - \frac{x}{s}\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 60.3% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-x}{s}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 6.000000213819608 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{4 - \frac{x}{s} \cdot \frac{x}{s}}{2 + \frac{x}{s}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \frac{\left(x \cdot -0.6666666666666666\right) \cdot \frac{s}{x} - s}{s \cdot \frac{s}{x}}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (- x) s)))
   (if (<= t_0 -5.0)
     0.5
     (if (<= t_0 6.000000213819608e+37)
       (/ 1.0 (/ (- 4.0 (* (/ x s) (/ x s))) (+ 2.0 (/ x s))))
       (/
        1.0
        (+
         1.0
         (+
          1.0
          (/ (- (* (* x -0.6666666666666666) (/ s x)) s) (* s (/ s x))))))))))

C

float code(float x, float s) {
	float t_0 = -x / s;
	float tmp;
	if (t_0 <= -5.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else if (t_0 <= 6.000000213819608e+37f) {
		tmp = 1.0f / ((4.0f - ((x / s) * (x / s))) / (2.0f + (x / s)));
	} else {
		tmp = 1.0f / (1.0f + (1.0f + ((((x * -0.6666666666666666f) * (s / x)) - s) / (s * (s / x)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: t_0
    real(4) :: tmp
    t_0 = -x / s
    if (t_0 <= (-5.0e0)) then
        tmp = 0.5e0
    else if (t_0 <= 6.000000213819608e+37) then
        tmp = 1.0e0 / ((4.0e0 - ((x / s) * (x / s))) / (2.0e0 + (x / s)))
    else
        tmp = 1.0e0 / (1.0e0 + (1.0e0 + ((((x * (-0.6666666666666666e0)) * (s / x)) - s) / (s * (s / x)))))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	t_0 = Float32(Float32(-x) / s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(-5.0))
		tmp = Float32(0.5);
	elseif (t_0 <= Float32(6.000000213819608e+37))
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(4.0) - Float32(Float32(x / s) * Float32(x / s))) / Float32(Float32(2.0) + Float32(x / s))));
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(x * Float32(-0.6666666666666666)) * Float32(s / x)) - s) / Float32(s * Float32(s / x))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	t_0 = -x / s;
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(-5.0))
		tmp = single(0.5);
	elseif (t_0 <= single(6.000000213819608e+37))
		tmp = single(1.0) / ((single(4.0) - ((x / s) * (x / s))) / (single(2.0) + (x / s)));
	else
		tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (single(1.0) + ((((x * single(-0.6666666666666666)) * (s / x)) - s) / (s * (s / x)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 28.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if -5 < (/.f32 (neg.f32 x) s) < 6.00000021e37

   1. Initial program 99.7%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 53.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 53.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 53.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 53.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 53.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. flip-+ 68.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}}} \]

      3. metadata-eval 68.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{4} - \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      4. distribute-neg-frac 68.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      5. distribute-neg-frac 68.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \color{blue}{\frac{-x}{s}}}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      6. distribute-neg-frac 68.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \frac{-x}{s}}{2 - \color{blue}{\frac{-x}{s}}}} \]

   7. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \frac{-x}{s}}{2 - \frac{-x}{s}}}} \]

   if 6.00000021e37 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{-\frac{x}{s}}}} \]

      2. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{1}{e^{\frac{x}{s}}}}} \]

      3. add-sqr-sqrt -0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}} \]

      4. sqrt-unprod 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}}{s}}}} \]

      5. sqr-neg 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}} \]

      6. sqrt-unprod 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{-x}}{s}}}} \]

      8. add-cube-cbrt 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}} \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}}}} \]

      9. pow3 6.3%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{3}}}} \]

      10. pow-flip 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}}} \]

      11. add-sqr-sqrt 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      12. sqrt-unprod 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      13. sqr-neg 6.3%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      14. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      15. add-sqr-sqrt 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{x}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      16. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{\color{blue}{-3}}} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{-3}}} \]

   5. Taylor expanded in s around inf 88.2%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 88.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      2. metadata-eval 88.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 - -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      3. distribute-lft-out-- 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      4. *-commutative 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s}} - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      5. cancel-sign-sub-inv 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      6. *-commutative 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      7. distribute-frac-neg 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      8. add-sqr-sqrt 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      9. sqrt-unprod 8.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      10. sqr-neg 8.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      11. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      12. add-sqr-sqrt 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{x}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      13. distribute-lft-out 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot \left(-0.6666666666666666 + -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      14. metadata-eval 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{-1}\right)\right)} \]

      15. *-rgt-identity 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{\color{blue}{x \cdot 1}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      16. metadata-eval 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666\right)}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      17. distribute-rgt-out 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      18. *-commutative 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}\right)\right)} \]

      19. add-sqr-sqrt 88.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}} \cdot \sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}}\right)\right)} \]

      20. sqrt-unprod 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\sqrt{\left(-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}\right) \cdot \left(-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}\right)}}\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 88.6%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{-1}{\frac{s}{x}}}\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot -0.6666666666666666\right) \cdot \frac{s}{x} - s}{s \cdot \frac{s}{x}}}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{elif}\;\frac{-x}{s} \leq 6.000000213819608 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{4 - \frac{x}{s} \cdot \frac{x}{s}}{2 + \frac{x}{s}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \frac{\left(x \cdot -0.6666666666666666\right) \cdot \frac{s}{x} - s}{s \cdot \frac{s}{x}}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 60.2% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-x}{s}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1.9999999360571385 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{4 - \frac{x}{s} \cdot \frac{x}{s}}{2 + \frac{x}{s}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (- x) s)))
   (if (<= t_0 -5.0)
     0.5
     (if (<= t_0 1.9999999360571385e+38)
       (/ 1.0 (/ (- 4.0 (* (/ x s) (/ x s))) (+ 2.0 (/ x s))))
       (/ 1.0 t_0)))))

C

float code(float x, float s) {
	float t_0 = -x / s;
	float tmp;
	if (t_0 <= -5.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else if (t_0 <= 1.9999999360571385e+38f) {
		tmp = 1.0f / ((4.0f - ((x / s) * (x / s))) / (2.0f + (x / s)));
	} else {
		tmp = 1.0f / t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: t_0
    real(4) :: tmp
    t_0 = -x / s
    if (t_0 <= (-5.0e0)) then
        tmp = 0.5e0
    else if (t_0 <= 1.9999999360571385e+38) then
        tmp = 1.0e0 / ((4.0e0 - ((x / s) * (x / s))) / (2.0e0 + (x / s)))
    else
        tmp = 1.0e0 / t_0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	t_0 = Float32(Float32(-x) / s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(-5.0))
		tmp = Float32(0.5);
	elseif (t_0 <= Float32(1.9999999360571385e+38))
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(4.0) - Float32(Float32(x / s) * Float32(x / s))) / Float32(Float32(2.0) + Float32(x / s))));
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	t_0 = -x / s;
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(-5.0))
		tmp = single(0.5);
	elseif (t_0 <= single(1.9999999360571385e+38))
		tmp = single(1.0) / ((single(4.0) - ((x / s) * (x / s))) / (single(2.0) + (x / s)));
	else
		tmp = single(1.0) / t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 28.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if -5 < (/.f32 (neg.f32 x) s) < 1.99999994e38

   1. Initial program 99.7%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 52.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.0%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 52.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 52.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. flip-+ 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}}} \]

      3. metadata-eval 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{4} - \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      4. distribute-neg-frac 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot \left(-\frac{x}{s}\right)}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      5. distribute-neg-frac 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \color{blue}{\frac{-x}{s}}}{2 - \left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      6. distribute-neg-frac 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \frac{-x}{s}}{2 - \color{blue}{\frac{-x}{s}}}} \]

   7. Applied egg-rr 70.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{4 - \frac{-x}{s} \cdot \frac{-x}{s}}{2 - \frac{-x}{s}}}} \]

   if 1.99999994e38 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-\frac{x}{s}}} \]

      2. distribute-frac-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-x}{s}}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-x}{s}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{elif}\;\frac{-x}{s} \leq 1.9999999360571385 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{4 - \frac{x}{s} \cdot \frac{x}{s}}{2 + \frac{x}{s}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{-x}{s}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 49.3% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= (/ (- x) s) -5.0)
   0.5
   (/
    1.0
    (+
     1.0
     (+
      1.0
      (+ (* -0.6666666666666666 (/ x s)) (* (/ x s) -0.3333333333333333)))))))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if ((-x / s) <= -5.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else {
		tmp = 1.0f / (1.0f + (1.0f + ((-0.6666666666666666f * (x / s)) + ((x / s) * -0.3333333333333333f))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if ((-x / s) <= (-5.0e0)) then
        tmp = 0.5e0
    else
        tmp = 1.0e0 / (1.0e0 + (1.0e0 + (((-0.6666666666666666e0) * (x / s)) + ((x / s) * (-0.3333333333333333e0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(-x) / s) <= Float32(-5.0))
		tmp = Float32(0.5);
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-0.6666666666666666) * Float32(x / s)) + Float32(Float32(x / s) * Float32(-0.3333333333333333))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if ((-x / s) <= single(-5.0))
		tmp = single(0.5);
	else
		tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (single(1.0) + ((single(-0.6666666666666666) * (x / s)) + ((x / s) * single(-0.3333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 28.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if -5 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{-\frac{x}{s}}}} \]

      2. exp-neg 99.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{1}{e^{\frac{x}{s}}}}} \]

      3. add-sqr-sqrt 19.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}} \]

      4. sqrt-unprod 38.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}}{s}}}} \]

      5. sqr-neg 38.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}} \]

      6. sqrt-unprod 19.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 36.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{-x}}{s}}}} \]

      8. add-cube-cbrt 36.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}} \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}}}} \]

      9. pow3 36.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{3}}}} \]

      10. pow-flip 36.2%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}}} \]

      11. add-sqr-sqrt 19.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      12. sqrt-unprod 38.8%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      13. sqr-neg 38.8%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      14. sqrt-unprod 19.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      15. add-sqr-sqrt 99.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{x}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{\color{blue}{-3}}} \]

   4. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{-3}}} \]

   5. Taylor expanded in s around inf 61.3%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 49.3% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \frac{x \cdot -0.6666666666666666 + x \cdot -0.3333333333333333}{s}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= (/ (- x) s) -5.0)
   0.5
   (/
    1.0
    (+
     1.0
     (+ 1.0 (/ (+ (* x -0.6666666666666666) (* x -0.3333333333333333)) s))))))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if ((-x / s) <= -5.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else {
		tmp = 1.0f / (1.0f + (1.0f + (((x * -0.6666666666666666f) + (x * -0.3333333333333333f)) / s)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if ((-x / s) <= (-5.0e0)) then
        tmp = 0.5e0
    else
        tmp = 1.0e0 / (1.0e0 + (1.0e0 + (((x * (-0.6666666666666666e0)) + (x * (-0.3333333333333333e0))) / s)))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(-x) / s) <= Float32(-5.0))
		tmp = Float32(0.5);
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(x * Float32(-0.6666666666666666)) + Float32(x * Float32(-0.3333333333333333))) / s))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if ((-x / s) <= single(-5.0))
		tmp = single(0.5);
	else
		tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (single(1.0) + (((x * single(-0.6666666666666666)) + (x * single(-0.3333333333333333))) / s)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 28.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if -5 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{-\frac{x}{s}}}} \]

      2. exp-neg 99.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{1}{e^{\frac{x}{s}}}}} \]

      3. add-sqr-sqrt 19.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}} \]

      4. sqrt-unprod 38.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}}{s}}}} \]

      5. sqr-neg 38.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}} \]

      6. sqrt-unprod 19.8%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 36.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{-x}}{s}}}} \]

      8. add-cube-cbrt 36.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}} \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}}}} \]

      9. pow3 36.2%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{3}}}} \]

      10. pow-flip 36.2%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}}} \]

      11. add-sqr-sqrt 19.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      12. sqrt-unprod 38.8%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      13. sqr-neg 38.8%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      14. sqrt-unprod 19.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      15. add-sqr-sqrt 99.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{x}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{\color{blue}{-3}}} \]

   4. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{-3}}} \]

   5. Taylor expanded in s around inf 61.3%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in s around 0 61.3%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \color{blue}{\frac{-0.6666666666666666 \cdot x + -0.3333333333333333 \cdot x}{s}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \left(1 + \frac{x \cdot -0.6666666666666666 + x \cdot -0.3333333333333333}{s}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 49.3% accurate, 7.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - \frac{x}{s}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= (/ (- x) s) -5.0) 0.5 (/ 1.0 (- 2.0 (/ x s)))))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if ((-x / s) <= -5.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else {
		tmp = 1.0f / (2.0f - (x / s));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if ((-x / s) <= (-5.0e0)) then
        tmp = 0.5e0
    else
        tmp = 1.0e0 / (2.0e0 - (x / s))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(-x) / s) <= Float32(-5.0))
		tmp = Float32(0.5);
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(2.0) - Float32(x / s)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if ((-x / s) <= single(-5.0))
		tmp = single(0.5);
	else
		tmp = single(1.0) / (single(2.0) - (x / s));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 28.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if -5 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 61.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 61.3%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 61.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq -5:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - \frac{x}{s}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 47.8% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-x}{s}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 2:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (- x) s))) (if (<= t_0 2.0) 0.5 (/ 1.0 t_0))))

C

float code(float x, float s) {
	float t_0 = -x / s;
	float tmp;
	if (t_0 <= 2.0f) {
		tmp = 0.5f;
	} else {
		tmp = 1.0f / t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: t_0
    real(4) :: tmp
    t_0 = -x / s
    if (t_0 <= 2.0e0) then
        tmp = 0.5e0
    else
        tmp = 1.0e0 / t_0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	t_0 = Float32(Float32(-x) / s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(2.0))
		tmp = Float32(0.5);
	else
		tmp = Float32(Float32(1.0) / t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	t_0 = -x / s;
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(2.0))
		tmp = single(0.5);
	else
		tmp = single(1.0) / t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f32 (neg.f32 x) s) < 2

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 49.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

   if 2 < (/.f32 (neg.f32 x) s)

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 40.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 40.4%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 40.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 40.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 40.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 40.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-\frac{x}{s}}} \]

      2. distribute-frac-neg 40.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-x}{s}}} \]

   8. Simplified 40.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-x}{s}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{-x}{s} \leq 2:\\ \;\;\;\;0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{-x}{s}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 46.1% accurate, 10.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.00000006675716 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{s}{x} \cdot -0.6\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= x -5.00000006675716e-11) (* (/ s x) -0.6) 0.5))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if (x <= -5.00000006675716e-11f) {
		tmp = (s / x) * -0.6f;
	} else {
		tmp = 0.5f;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if (x <= (-5.00000006675716e-11)) then
        tmp = (s / x) * (-0.6e0)
    else
        tmp = 0.5e0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-5.00000006675716e-11))
		tmp = Float32(Float32(s / x) * Float32(-0.6));
	else
		tmp = Float32(0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-5.00000006675716e-11))
		tmp = (s / x) * single(-0.6);
	else
		tmp = single(0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.00000007e-11

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{-\frac{x}{s}}}} \]

      2. exp-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{1}{e^{\frac{x}{s}}}}} \]

      3. add-sqr-sqrt -0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}} \]

      4. sqrt-unprod 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}}{s}}}} \]

      5. sqr-neg 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}} \]

      6. sqrt-unprod 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{-x}}{s}}}} \]

      8. add-cube-cbrt 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}} \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}}}} \]

      9. pow3 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{3}}}} \]

      10. pow-flip 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}}} \]

      11. add-sqr-sqrt 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      12. sqrt-unprod 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      13. sqr-neg 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      14. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      15. add-sqr-sqrt 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{x}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      16. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{\color{blue}{-3}}} \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{-3}}} \]

   5. Taylor expanded in s around inf 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 50.1%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      2. metadata-eval 50.1%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 - -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      3. distribute-lft-out-- 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      4. *-commutative 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s}} - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      5. cancel-sign-sub-inv 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      6. *-commutative 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      7. distribute-frac-neg 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      8. add-sqr-sqrt 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      9. sqrt-unprod 17.4%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      10. sqr-neg 17.4%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      11. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      12. add-sqr-sqrt 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{x}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      13. distribute-lft-out 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot \left(-0.6666666666666666 + -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      14. metadata-eval 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{-1}\right)\right)} \]

      15. *-rgt-identity 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{\color{blue}{x \cdot 1}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      16. metadata-eval 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666\right)}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      17. distribute-rgt-out 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      18. *-commutative 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}\right)\right)} \]

      19. add-sqr-sqrt 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}} \cdot \sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}}\right)\right)} \]

      20. sqrt-unprod 78.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\sqrt{\left(-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}\right) \cdot \left(-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}\right)}}\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 50.5%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{-1}{\frac{s}{x}}}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 47.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.6 \cdot \frac{s}{x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 47.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{s}{x} \cdot -0.6} \]

   10. Simplified 47.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{s}{x} \cdot -0.6} \]

   if -5.00000007e-11 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 44.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.00000006675716 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{s}{x} \cdot -0.6\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 46.1% accurate, 10.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.00000006675716 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{s}{x \cdot -1.6666666666666667}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= x -5.00000006675716e-11) (/ s (* x -1.6666666666666667)) 0.5))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if (x <= -5.00000006675716e-11f) {
		tmp = s / (x * -1.6666666666666667f);
	} else {
		tmp = 0.5f;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if (x <= (-5.00000006675716e-11)) then
        tmp = s / (x * (-1.6666666666666667e0))
    else
        tmp = 0.5e0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-5.00000006675716e-11))
		tmp = Float32(s / Float32(x * Float32(-1.6666666666666667)));
	else
		tmp = Float32(0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-5.00000006675716e-11))
		tmp = s / (x * single(-1.6666666666666667));
	else
		tmp = single(0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.00000007e-11

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{-\frac{x}{s}}}} \]

      2. exp-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{1}{e^{\frac{x}{s}}}}} \]

      3. add-sqr-sqrt -0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}} \]

      4. sqrt-unprod 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}}{s}}}} \]

      5. sqr-neg 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}} \]

      6. sqrt-unprod 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\color{blue}{-x}}{s}}}} \]

      8. add-cube-cbrt 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}} \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}}}} \]

      9. pow3 6.7%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{3}}}} \]

      10. pow-flip 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{-x}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}}} \]

      11. add-sqr-sqrt 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      12. sqrt-unprod 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      13. sqr-neg 6.7%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      14. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      15. add-sqr-sqrt 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{\color{blue}{x}}{s}}}\right)}^{\left(-3\right)}} \]

      16. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + {\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{\color{blue}{-3}}} \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{e^{\frac{x}{s}}}\right)}^{-3}}} \]

   5. Taylor expanded in s around inf 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{x}{s}\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 50.1%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      2. metadata-eval 50.1%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 - -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      3. distribute-lft-out-- 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      4. *-commutative 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s}} - \frac{x}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      5. cancel-sign-sub-inv 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      6. *-commutative 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\color{blue}{\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666} + \left(-\frac{x}{s}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      7. distribute-frac-neg 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \color{blue}{\frac{-x}{s}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      8. add-sqr-sqrt 9.0%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      9. sqrt-unprod 17.4%

         \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      10. sqr-neg 17.4%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      11. sqrt-unprod -0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      12. add-sqr-sqrt 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \left(\frac{x}{s} \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\color{blue}{x}}{s} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

      13. distribute-lft-out 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{x}{s} \cdot \left(-0.6666666666666666 + -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

      14. metadata-eval 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x}{s} \cdot \color{blue}{-1}\right)\right)} \]

      15. *-rgt-identity 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{\color{blue}{x \cdot 1}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      16. metadata-eval 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666\right)}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      17. distribute-rgt-out 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}}{s} \cdot -1\right)\right)} \]

      18. *-commutative 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}\right)\right)} \]

      19. add-sqr-sqrt 50.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}} \cdot \sqrt{-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}}}\right)\right)} \]

      20. sqrt-unprod 78.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\sqrt{\left(-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}\right) \cdot \left(-1 \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot x}{s}\right)}}\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 50.5%

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(1 + \left(-0.6666666666666666 \cdot \frac{x}{s} + \color{blue}{\frac{-1}{\frac{s}{x}}}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in s around 0 47.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{s}{-1 \cdot x + -0.6666666666666666 \cdot x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-out 47.7%

         \[\leadsto \frac{s}{\color{blue}{x \cdot \left(-1 + -0.6666666666666666\right)}} \]

      2. metadata-eval 47.7%

         \[\leadsto \frac{s}{x \cdot \color{blue}{-1.6666666666666667}} \]

   10. Simplified 47.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{s}{x \cdot -1.6666666666666667}} \]

   if -5.00000007e-11 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 44.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.00000006675716 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{s}{x \cdot -1.6666666666666667}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 45.9% accurate, 12.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.00000006675716 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{-s}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= x -5.00000006675716e-11) (/ (- s) x) 0.5))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if (x <= -5.00000006675716e-11f) {
		tmp = -s / x;
	} else {
		tmp = 0.5f;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if (x <= (-5.00000006675716e-11)) then
        tmp = -s / x
    else
        tmp = 0.5e0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-5.00000006675716e-11))
		tmp = Float32(Float32(-s) / x);
	else
		tmp = Float32(0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-5.00000006675716e-11))
		tmp = -s / x;
	else
		tmp = single(0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.00000007e-11

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 50.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 50.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 47.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{s}{x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 47.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot s}{x}} \]

      2. neg-mul-1 47.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{-s}}{x} \]

   8. Simplified 47.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{x}} \]

   if -5.00000007e-11 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 44.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.00000006675716 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{-s}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 45.9% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.0000000116860974 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{s}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s)
 :precision binary32
 (if (<= x -1.0000000116860974e-7) (/ s x) 0.5))

C

float code(float x, float s) {
	float tmp;
	if (x <= -1.0000000116860974e-7f) {
		tmp = s / x;
	} else {
		tmp = 0.5f;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    real(4) :: tmp
    if (x <= (-1.0000000116860974e-7)) then
        tmp = s / x
    else
        tmp = 0.5e0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(x, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-1.0000000116860974e-7))
		tmp = Float32(s / x);
	else
		tmp = Float32(0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, s)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-1.0000000116860974e-7))
		tmp = s / x;
	else
		tmp = single(0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.00000001e-7

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-\frac{x}{s}\right)}} \]

      2. unsub-neg 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   5. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - \frac{x}{s}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-1 \cdot \frac{x}{s}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-\frac{x}{s}}} \]

      2. distribute-frac-neg 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-x}{s}}} \]

   8. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-x}{s}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 52.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{1}{\frac{-x}{s}}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 96.1%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{1}{\frac{-x}{s}}\right)} - 1} \]

      3. clear-num 96.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{s}{-x}}\right)} - 1 \]

      4. add-sqr-sqrt 96.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}}\right)} - 1 \]

      5. sqrt-unprod 96.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}}\right)} - 1 \]

      6. sqr-neg 96.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}}\right)} - 1 \]

      7. sqrt-unprod -0.0%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}\right)} - 1 \]

      8. add-sqr-sqrt 95.9%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{\color{blue}{x}}\right)} - 1 \]

   10. Applied egg-rr 95.9%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{x}\right)} - 1} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 49.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{s}{x}\right)\right)} \]

       2. expm1-log1p 49.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{s}{x}} \]

   12. Simplified 49.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{s}{x}} \]

   if -1.00000001e-7 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 43.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.0000000116860974 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{s}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 34.6% accurate, 108.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x s) :precision binary32 0.5)

C

float code(float x, float s) {
	return 0.5f;
}

Fortran

real(4) function code(x, s)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: s
    code = 0.5e0
end function

Julia

function code(x, s)
	return Float32(0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(x, s)
	tmp = single(0.5);
end

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{1}{1 + e^{\frac{-x}{s}}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 33.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

4. Final simplification 33.4%

   \[\leadsto 0.5 \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024027 
(FPCore (x s)
  :name "Logistic function"
  :precision binary32
  :pre (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631))
  (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- x) s)))))