2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.0% → 98.6%

Time: 18.4s

Alternatives: 11

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ t_1 := \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, \left(t_1 \cdot t_1\right) \cdot t_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))) (t_1 (cbrt (sqrt (+ 1.0 x)))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (* (* t_1 t_1) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double t_1 = cbrt(sqrt((1.0 + x)));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), ((t_1 * t_1) * t_0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	t_1 = cbrt(sqrt(Float64(1.0 + x)))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), Float64(Float64(t_1 * t_1) * t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. log-pow 93.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. add-exp-log 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   9. pow1/3 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right)}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   3. unpow-prod-down 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   4. pow-prod-up 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   5. metadata-eval 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

10. Applied egg-rr 94.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval 94.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. pow-sqr 94.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. unpow1/3 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x + 1}}} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. +-commutative 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x + 1}}}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    6. +-commutative 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1 + x}}}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

12. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

13. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ t_1 := \sqrt[3]{\sqrt{x}}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t_0 + t_1 \cdot t_1, {t_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))) (t_1 (cbrt (sqrt x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ t_0 (* t_1 t_1)) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double t_1 = cbrt(sqrt(x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (t_0 + (t_1 * t_1)), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	t_1 = cbrt(sqrt(x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(t_0 + Float64(t_1 * t_1)), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sqrt[x], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. log-pow 93.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. add-exp-log 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   9. pow1/3 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right)}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   3. unpow-prod-down 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   4. pow-prod-up 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   5. metadata-eval 94.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\left(\sqrt{x}\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

10. Applied egg-rr 94.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x}\right)}^{0.6666666666666666}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity 94.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}}^{0.6666666666666666}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. metadata-eval 94.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. pow-sqr 94.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{{\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. unpow1/3 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. *-rgt-identity 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}} \cdot {\left(\sqrt{x} \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    6. unpow1/3 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot 1}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    7. *-rgt-identity 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{x}}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

12. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow2 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

14. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

15. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x}}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {t_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-def 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 9.1%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 9.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 9.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. prod-exp 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   3. pow-prod-down 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   4. pow2 93.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

   5. pow-exp 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. log1p-udef 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. log-pow 93.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. add-exp-log 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   9. pow1/3 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

   10. +-commutative 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right)}^{2}\right)} \]

   11. pow2 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow2 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

11. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1 + \left(x - x\right)}{{t_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ (+ 1.0 (- x x)) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return (1.0 + (x - x)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.5%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 7.5%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - {x}^{0.3333333333333333} \]

6. Applied egg-rr 6.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - {x}^{0.3333333333333333} \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} - {x}^{0.3333333333333333} \]

   2. flip3-- 7.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)}} \]

   3. div-inv 7.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)}} \]

   4. +-commutative 7.4%

      \[\leadsto \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{3} - {\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   5. rem-cube-cbrt 7.5%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   6. unpow1/3 6.2%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   7. rem-cube-cbrt 9.0%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   8. pow2 9.0%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   9. +-commutative 9.0%

      \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot {x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   10. distribute-rgt-out 9.0%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333} \cdot \left({x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   11. unpow1/3 9.1%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left({x}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

   12. +-commutative 9.1%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + {x}^{0.3333333333333333}\right)}} \]

8. Applied egg-rr 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 9.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(1 + x\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. associate--l+ 98.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x - x\right)\right)} \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x - x\right)\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

11. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
    (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111))
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
     (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)))) + (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))) + Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 8.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 8.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 8.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 8.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 8.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 8.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 8.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 8.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 91.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 91.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 91.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. distribute-rgt-out 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      5. unpow1/3 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      6. metadata-eval 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.6%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 90.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333 + 0.3333333333333333}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. prod-exp 90.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333} \cdot e^{0.3333333333333333}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      3. pow-prod-down 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

      4. pow2 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

      5. pow-exp 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

      6. log1p-udef 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      7. log-pow 92.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      8. add-exp-log 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

      9. pow1/3 98.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

      10. +-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right)}^{2}\right)} \]

      11. pow2 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 93.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

      2. pow1/3 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

      3. pow-prod-up 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

      4. metadata-eval 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 91.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 58.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
    (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)))) + (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))) + Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 8.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 8.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 8.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 8.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 8.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 8.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 8.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 8.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 91.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 91.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 91.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. distribute-rgt-out 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      5. unpow1/3 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      6. metadata-eval 97.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.6%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 57.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 8.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 8.6%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 8.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 8.6%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 8.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 8.6%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 6.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 8.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 8.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 8.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 95.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-def 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.6%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 50.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.6%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.6%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.6%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.6%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.6%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.1%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.1%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.1%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.7%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.7%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.7%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 45.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 48.3%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

7. Simplified 48.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

8. Final simplification 48.3%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 6.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 4.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

4. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 6.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 6.1%

   \[\leadsto 1 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t_0 \cdot t_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024024 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :herbie-target
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))