UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 31.0s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_2 := \sqrt{\pi \cdot 2}\\ \left(\left(\cos \left(t_2 \cdot \left(uy \cdot t_2\right)\right) \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(t_1 \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
        (t_2 (sqrt (* PI 2.0))))
   (+
    (+
     (* (* (cos (* t_2 (* uy t_2))) t_1) xi)
     (* (* t_1 (sin (* PI (* uy 2.0)))) yi))
    (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	float t_2 = sqrtf((((float) M_PI) * 2.0f));
	return (((cosf((t_2 * (uy * t_2))) * t_1) * xi) + ((t_1 * sinf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f)))) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(t_2 * Float32(uy * t_2))) * t_1) * xi) + Float32(Float32(t_1 * sin(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0))))) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	t_2 = sqrt((single(pi) * single(2.0)));
	tmp = (((cos((t_2 * (uy * t_2))) * t_1) * xi) + ((t_1 * sin((single(pi) * (uy * single(2.0))))) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. expm1-log1p-u 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-sqr-sqrt 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot \sqrt{\color{blue}{\pi \cdot 2}}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot \sqrt{\pi \cdot 2}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\pi \cdot 2}}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \sqrt{\pi \cdot 2}\right) \cdot \sqrt{\pi \cdot 2}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\sqrt{\pi \cdot 2} \cdot \left(uy \cdot \sqrt{\pi \cdot 2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi \cdot t_1, \mathsf{fma}\left(\sin t_0, yi \cdot t_1, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* PI 2.0)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0)))))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* xi t_1)
    (fma (sin t_0) (* yi t_1) (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * ((ux * maxCos) * (ux + -1.0f)))));
	return fmaf(cosf(t_0), (xi * t_1), fmaf(sinf(t_0), (yi * t_1), ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))
	return fma(cos(t_0), Float32(xi * t_1), fma(sin(t_0), Float32(yi * t_1), Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right), yi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(t_1 \cdot \sin t_0\right) \cdot yi + xi \cdot \left(t_1 \cdot \cos t_0\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (+ (* (* t_1 (sin t_0)) yi) (* xi (* t_1 (cos t_0))))
    (* zi (- (* ux maxCos) (* ux (* ux maxCos)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (((t_1 * sinf(t_0)) * yi) + (xi * (t_1 * cosf(t_0)))) + (zi * ((ux * maxCos) - (ux * (ux * maxCos))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(t_1 * sin(t_0)) * yi) + Float32(xi * Float32(t_1 * cos(t_0)))) + Float32(zi * Float32(Float32(ux * maxCos) - Float32(ux * Float32(ux * maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	t_1 = sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	tmp = (((t_1 * sin(t_0)) * yi) + (xi * (t_1 * cos(t_0)))) + (zi * ((ux * maxCos) - (ux * (ux * maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot zi \]

   4. sub-neg 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right) \cdot zi \]

   5. distribute-rgt-in 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(1 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   6. *-un-lft-identity 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\color{blue}{ux \cdot maxCos} + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

5. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(t_1 \cdot \sin t_0\right) \cdot yi + xi \cdot \left(t_1 \cdot \cos t_0\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (+ (* (* t_1 (sin t_0)) yi) (* xi (* t_1 (cos t_0))))
    (* (- 1.0 ux) (* ux (* maxCos zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (((t_1 * sinf(t_0)) * yi) + (xi * (t_1 * cosf(t_0)))) + ((1.0f - ux) * (ux * (maxCos * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(t_1 * sin(t_0)) * yi) + Float32(xi * Float32(t_1 * cos(t_0)))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * Float32(maxCos * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	t_1 = sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	tmp = (((t_1 * sin(t_0)) * yi) + (xi * (t_1 * cos(t_0)))) + ((single(1.0) - ux) * (ux * (maxCos * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   2. associate-*l* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   3. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot zi\right) \]

   4. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)} \]

   6. sub-neg 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)} \]

   7. distribute-rgt-in 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   8. *-un-lft-identity 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* 98.7%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux} + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative 98.7%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   12. associate-*r* 98.7%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt1-in 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(-ux\right) + 1\right) \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   2. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)} \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \]

   3. sub-neg 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right)} \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \]

   4. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot zi\right)} \cdot ux\right) \]

   5. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]

6. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* PI 2.0)))
  (*
   xi
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0))))))
  (+ (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))) (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (((float) M_PI) * 2.0f))), (xi * sqrtf((1.0f + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * ((ux * maxCos) * (ux + -1.0f)))))), ((maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

6. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos t_1 + yi \cdot \sin t_1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)) (t_1 (* uy (* PI 2.0))))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (- 1.0 (* maxCos (* (- 1.0 ux) (* t_0 (* ux ux))))))
     (+ (* xi (cos t_1)) (* yi (sin t_1)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = uy * (((float) M_PI) * 2.0f);
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (maxCos * ((1.0f - ux) * (t_0 * (ux * ux)))))) * ((xi * cosf(t_1)) + (yi * sinf(t_1)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(t_0 * Float32(ux * ux)))))) * Float32(Float32(xi * cos(t_1)) + Float32(yi * sin(t_1)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_0\right) + \sin t_0 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* zi (- (* ux maxCos) (* ux (* ux maxCos))))
    (+
     (*
      xi
      (*
       (sqrt
        (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
       (cos t_0)))
     (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return (zi * ((ux * maxCos) - (ux * (ux * maxCos)))) + ((xi * (sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf(t_0))) + (sinf(t_0) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(Float32(ux * maxCos) - Float32(ux * Float32(ux * maxCos)))) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(t_0))) + Float32(sin(t_0) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = (zi * ((ux * maxCos) - (ux * (ux * maxCos)))) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos(t_0))) + (sin(t_0) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot zi \]

   4. sub-neg 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right) \cdot zi \]

   5. distribute-rgt-in 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(1 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   6. *-un-lft-identity 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\color{blue}{ux \cdot maxCos} + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot maxCos + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(ux \cdot maxCos + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot yi\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_1\right) + \sin t_1 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* t_0 zi)
    (+
     (* xi (* (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))) (cos t_1)))
     (* (sin t_1) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return (t_0 * zi) + ((xi * (sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf(t_1))) + (sinf(t_1) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(t_0 * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(t_1))) + Float32(sin(t_1) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = (t_0 * zi) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos(t_1))) + (sin(t_1) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot yi\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_0\right) + \sin t_0 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* (- 1.0 ux) (* ux (* maxCos zi)))
    (+
     (*
      xi
      (*
       (sqrt
        (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
       (cos t_0)))
     (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((1.0f - ux) * (ux * (maxCos * zi))) + ((xi * (sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf(t_0))) + (sinf(t_0) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * Float32(maxCos * zi))) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(t_0))) + Float32(sin(t_0) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (ux * (maxCos * zi))) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos(t_0))) + (sin(t_0) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   2. associate-*l* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   3. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot zi\right) \]

   4. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)} \]

   6. sub-neg 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)} \]

   7. distribute-rgt-in 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   8. *-un-lft-identity 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* 98.7%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux} + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative 98.7%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   12. associate-*r* 98.7%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt1-in 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(-ux\right) + 1\right) \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   2. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)} \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \]

   3. sub-neg 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right)} \cdot \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \]

   4. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot zi\right)} \cdot ux\right) \]

   5. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]

6. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

10. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot yi\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (- 1.0 (* maxCos (* (- 1.0 ux) (* t_0 (* ux ux))))))
     (+ (* xi (cos (* uy (* PI 2.0)))) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (maxCos * ((1.0f - ux) * (t_0 * (ux * ux)))))) * ((xi * cosf((uy * (((float) M_PI) * 2.0f)))) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(t_0 * Float32(ux * ux)))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 90.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 90.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

8. Final simplification 90.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 90.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (- (* ux maxCos) (* ux (* ux maxCos))))
  (+
   (*
    xi
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
     (cos (* PI (* uy 2.0)))))
   (* uy (* PI (* 2.0 yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * ((ux * maxCos) - (ux * (ux * maxCos)))) + ((xi * (sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(Float32(ux * maxCos) - Float32(ux * Float32(ux * maxCos)))) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * ((ux * maxCos) - (ux * (ux * maxCos)))) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)} \cdot \pi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*l* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot zi \]

   4. sub-neg 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right) \cdot zi \]

   5. distribute-rgt-in 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(1 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

   6. *-un-lft-identity 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\color{blue}{ux \cdot maxCos} + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

10. Applied egg-rr 90.8%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

11. Final simplification 90.8%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 90.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
     (cos (* PI (* uy 2.0)))))
   (* uy (* PI (* 2.0 yi))))
  (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi)))) + (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))) + Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi)))) + (zi * (maxCos * (ux * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)} \cdot \pi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*l* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot zi \]

    2. mul-1-neg 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

    3. distribute-rgt-neg-in 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{maxCos \cdot \left(-{ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

    4. mul-1-neg 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot {ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

    5. distribute-lft-out 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot zi \]

    6. *-rgt-identity 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux \cdot 1} + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right) \cdot zi \]

    7. mul-1-neg 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 1 + \color{blue}{\left(-{ux}^{2}\right)}\right)\right) \cdot zi \]

    8. unpow2 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 1 + \left(-\color{blue}{ux \cdot ux}\right)\right)\right) \cdot zi \]

    9. distribute-rgt-neg-out 90.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 1 + \color{blue}{ux \cdot \left(-ux\right)}\right)\right) \cdot zi \]

    10. distribute-lft-in 90.8%

        \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)\right)}\right) \cdot zi \]

    11. sub-neg 90.8%

        \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot zi \]

11. Simplified 90.8%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]

12. Final simplification 90.8%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 90.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* t_0 zi)
    (+
     (*
      xi
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
       (cos (* PI (* uy 2.0)))))
     (* uy (* PI (* 2.0 yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (t_0 * zi) + ((xi * (sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(t_0 * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (t_0 * zi) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)} \cdot \pi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*l* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 90.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* t_0 zi)
    (+
     (* uy (* PI (* 2.0 yi)))
     (*
      xi
      (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 (* ux maxCos))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (t_0 * zi) + ((uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi))) + (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * (ux * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(t_0 * zi) + Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi))) + Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * Float32(ux * maxCos))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (t_0 * zi) + ((uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi))) + (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * (ux * maxCos)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)} \cdot \pi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*l* 90.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 90.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 90.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Final simplification 90.7%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024023 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))