ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 52.7% → 99.5%

Time: 26.7s

Alternatives: 2

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+ (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)) (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 99.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 49.8%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   2. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \cdot x\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot x\right) \]

   2. rem-square-sqrt 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 63.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. pow1/3 63.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 63.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   4. *-commutative 63.1%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. unpow-prod-down 63.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow2 63.1%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   7. pow-prod-down 63.1%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-prod-up 63.1%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. metadata-eval 63.1%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 63.1%

       \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

5. Applied egg-rr 63.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 63.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

7. Simplified 63.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 63.9%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.004629629629629629 \cdot {x}^{6}}} \]

   2. cbrt-prod 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}}} \]

   3. metadata-eval 64.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   4. metadata-eval 64.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   5. rem-square-sqrt 64.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   6. rem-square-sqrt 64.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   7. rem-square-sqrt 64.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   8. add-cbrt-cube 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   9. rem-square-sqrt 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   10. metadata-eval 64.1%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(3 + 3\right)}}} \]

   11. pow-prod-up 64.1%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot {x}^{3}}} \]

   12. cbrt-prod 80.3%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{3}}\right)} \]

   13. rem-cbrt-cube 80.5%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt[3]{{x}^{3}}\right) \]

   14. rem-cbrt-cube 98.9%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right) \]

   15. associate-*r* 98.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   16. *-commutative 98.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

10. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
11. Add Preprocessing

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024022 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))