ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.1% → 99.5%

Time: 21.6s

Alternatives: 6

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

4. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(-0.05555555555555555 \cdot {x}^{3} + x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ (* -0.05555555555555555 (pow x 3.0)) (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * ((-0.05555555555555555 * pow(x, 3.0)) + (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (((-0.05555555555555555d0) * (x ** 3.0d0)) + (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((-0.05555555555555555 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return x * ((-0.05555555555555555 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(-0.05555555555555555 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((-0.05555555555555555 * (x ^ 3.0)) + (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(-0.05555555555555555 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 83.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. sqrt-unprod 77.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x} \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   3. div-inv 76.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \]

   4. div-inv 76.8%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}\right)}} \]

   5. swap-sqr 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)}} \]

   6. *-commutative 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   7. *-commutative 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   8. swap-sqr 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   9. pow-sqr 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   10. metadata-eval 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   11. metadata-eval 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   12. inv-pow 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(\color{blue}{{\tan x}^{-1}} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   13. inv-pow 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left({\tan x}^{-1} \cdot \color{blue}{{\tan x}^{-1}}\right)} \]

   14. pow-prod-up 19.5%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{{\tan x}^{\left(-1 + -1\right)}}} \]

   15. metadata-eval 19.5%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot {\tan x}^{\color{blue}{-2}}} \]

5. Applied egg-rr 19.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot {\tan x}^{-2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* 19.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{6} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}\right)}} \]

7. Simplified 19.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sqrt-unprod 19.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}}} \]

   2. sqrt-pow1 17.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \]

   3. metadata-eval 17.9%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{3}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \]

   4. *-commutative 17.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot {x}^{3}} \]

   5. unpow3 17.9%

      \[\leadsto \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   6. unpow2 17.9%

      \[\leadsto \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) \]

   7. associate-*r* 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   8. *-commutative 25.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\tan x}^{-2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   9. sqrt-prod 25.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{{\tan x}^{-2}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   10. sqrt-pow1 98.1%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{\tan x}^{\left(\frac{-2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   11. metadata-eval 98.1%

       \[\leadsto \left(\left({\tan x}^{\color{blue}{-1}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   12. inv-pow 98.1%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{\tan x}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   13. metadata-eval 98.1%

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{\tan x} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   14. associate-*l/ 98.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{1 \cdot 0.16666666666666666}{\tan x}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   15. metadata-eval 98.5%

       \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{0.16666666666666666}}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

9. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

10. Taylor expanded in x around 0 98.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.05555555555555555 \cdot {x}^{3} + 0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]

11. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto x \cdot \left(-0.05555555555555555 \cdot {x}^{3} + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 83.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. sqrt-unprod 77.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x} \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   3. div-inv 76.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \]

   4. div-inv 76.8%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}\right)}} \]

   5. swap-sqr 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)}} \]

   6. *-commutative 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   7. *-commutative 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   8. swap-sqr 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   9. pow-sqr 19.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   10. metadata-eval 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   11. metadata-eval 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right) \cdot \left(\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   12. inv-pow 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(\color{blue}{{\tan x}^{-1}} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

   13. inv-pow 19.4%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left({\tan x}^{-1} \cdot \color{blue}{{\tan x}^{-1}}\right)} \]

   14. pow-prod-up 19.5%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{{\tan x}^{\left(-1 + -1\right)}}} \]

   15. metadata-eval 19.5%

       \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot {\tan x}^{\color{blue}{-2}}} \]

5. Applied egg-rr 19.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot {\tan x}^{-2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* 19.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{6} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}\right)}} \]

7. Simplified 19.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sqrt-unprod 19.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}}} \]

   2. sqrt-pow1 17.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \]

   3. metadata-eval 17.9%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{3}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \]

   4. *-commutative 17.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot {x}^{3}} \]

   5. unpow3 17.9%

      \[\leadsto \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   6. unpow2 17.9%

      \[\leadsto \sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) \]

   7. associate-*r* 25.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {\tan x}^{-2}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   8. *-commutative 25.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\tan x}^{-2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   9. sqrt-prod 25.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{{\tan x}^{-2}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   10. sqrt-pow1 98.1%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{\tan x}^{\left(\frac{-2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   11. metadata-eval 98.1%

       \[\leadsto \left(\left({\tan x}^{\color{blue}{-1}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   12. inv-pow 98.1%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{\tan x}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   13. metadata-eval 98.1%

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{\tan x} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   14. associate-*l/ 98.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{1 \cdot 0.16666666666666666}{\tan x}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   15. metadata-eval 98.5%

       \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{0.16666666666666666}}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

9. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

10. Taylor expanded in x around 0 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]

11. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024020 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))