math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.2% → 99.5%

Time: 9.7s

Alternatives: 12

Speedup: 2.8×

• 49.4% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im_m} - e^{im_m}\\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im_m}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im_m}^{3} + -0.008333333333333333 \cdot {im_m}^{5}\right) - im_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 (- INFINITY))
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       (sin re)
       (+
        (* (pow im_m 7.0) -0.0001984126984126984)
        (-
         (+
          (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0))
          (* -0.008333333333333333 (pow im_m 5.0)))
         im_m)))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((pow(im_m, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) + (-0.008333333333333333 * pow(im_m, 5.0))) - im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((Math.pow(im_m, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) + (-0.008333333333333333 * Math.pow(im_m, 5.0))) - im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -math.inf:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((math.pow(im_m, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) + (-0.008333333333333333 * math.pow(im_m, 5.0))) - im_m))
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64((im_m ^ 7.0) * -0.0001984126984126984) + Float64(Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) + Float64(-0.008333333333333333 * (im_m ^ 5.0))) - im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -Inf)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * (((im_m ^ 7.0) * -0.0001984126984126984) + (((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) + (-0.008333333333333333 * (im_m ^ 5.0))) - im_m));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 95.3%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} - im\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) - im\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im_m} - e^{im_m}\\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.04:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im_m}^{3}\right) - im_m \cdot \sin re\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.04)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (-
       (* -0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im_m 3.0)))
       (* im_m (sin re)))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.04) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = (-0.16666666666666666 * (sin(re) * pow(im_m, 3.0))) - (im_m * sin(re));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.04d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = ((-0.16666666666666666d0) * (sin(re) * (im_m ** 3.0d0))) - (im_m * sin(re))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.04) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = (-0.16666666666666666 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 3.0))) - (im_m * Math.sin(re));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.04:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = (-0.16666666666666666 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 3.0))) - (im_m * math.sin(re))
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.04)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 3.0))) - Float64(im_m * sin(re)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.04)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = (-0.16666666666666666 * (sin(re) * (im_m ^ 3.0))) - (im_m * sin(re));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.04], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.0400000000000000008 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.04:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - im \cdot \sin re\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im_m} - e^{im_m}\\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.04:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im_m}^{3} - im_m\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.04)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.04) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.04d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.04) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.04:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.04)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.04)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.04], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.0400000000000000008 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 87.3%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} \]

      3. unsub-neg 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) - im \cdot \sin re} \]

      4. associate-*r* 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      5. distribute-rgt-out-- 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

   8. Simplified 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.04:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im_m \leq 0.032:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im_m}^{3} - im_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im_m \leq 1.05 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im_m} - e^{im_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.032)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (if (<= im_m 1.05e+44)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0)))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.032) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.05e+44) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.032d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 1.05d+44) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.032) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1.05e+44) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.032:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	elif im_m <= 1.05e+44:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.032)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 1.05e+44)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.032)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 1.05e+44)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.032], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.05e+44], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.032000000000000001

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 87.3%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} \]

      3. unsub-neg 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) - im \cdot \sin re} \]

      4. associate-*r* 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      5. distribute-rgt-out-- 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

   8. Simplified 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

   if 0.032000000000000001 < im < 1.04999999999999993e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 75.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 75.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 1.04999999999999993e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 100.0%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 89.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.032:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.05 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 92.2% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im_m \leq 5.6:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im_m}^{3} - im_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5.6)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.6) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5.6d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.6) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5.6:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.6)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.6)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.6], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.5999999999999996

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 95.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 95.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 87.3%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} \]

      3. unsub-neg 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) - im \cdot \sin re} \]

      4. associate-*r* 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      5. distribute-rgt-out-- 87.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

   8. Simplified 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

   if 5.5999999999999996 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 88.6%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 88.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 88.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 88.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.6:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im_m \leq 4.1:\\ \;\;\;\;im_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 4.1)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.1) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 4.1d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.1) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 4.1:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.1)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.1)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.1], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.0999999999999996

   1. Initial program 55.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 66.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 66.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4.0999999999999996 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 88.6%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 88.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 88.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 88.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 88.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 88.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.1:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 82.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im_m \leq 3 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;im_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(re \cdot {im_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3e+18)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* -0.0001984126984126984 (* re (pow im_m 7.0))))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3e+18) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (re * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3d+18) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (re * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3e+18) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (re * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3e+18:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (re * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3e+18)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(re * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3e+18)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (re * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3e+18], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(re * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3e18

   1. Initial program 55.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3e18 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 91.2%

         \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      2. associate-+r+ 91.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

      3. +-commutative 91.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

      4. associate-*r* 91.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 91.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg 91.2%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 91.2%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in 91.2%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 91.2%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      10. associate-*r* 91.2%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* 91.2%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out 91.2%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

   5. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

   7. Taylor expanded in re around 0 77.2%

      \[\leadsto -0.0001984126984126984 \cdot \color{blue}{\left({im}^{7} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 57.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im_m \leq 6 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;im_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-im_m\right) \cdot re\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= im_m 6e+74) (* im_m (- (sin re))) (* (- im_m) re))))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6e+74) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = -im_m * re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 6d+74) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = -im_m * re
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6e+74) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -im_m * re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 6e+74:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = -im_m * re
	return im_s * tmp

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 6e+74)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * re);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 6e+74)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = -im_m * re;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 6e+74], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[((-im$95$m) * re), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6e74

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 6e74 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 4.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 4.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 20.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 20.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

      2. *-commutative 20.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{re \cdot im} \]

      3. distribute-rgt-neg-in 20.2%

         \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

   8. Simplified 20.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot re\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 33.1% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot \left(\left(-im_m\right) \cdot re\right) \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* (- im_m) re)))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (-im_m * re);
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-im_m * re)
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (-im_m * re);
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (-im_m * re)

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(-im_m) * re))
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (-im_m * re);
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[((-im$95$m) * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.9%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 50.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 50.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 33.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot re} \]

   2. *-commutative 33.9%

      \[\leadsto -\color{blue}{re \cdot im} \]

   3. distribute-rgt-neg-in 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

8. Simplified 33.9%

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

9. Final simplification 33.9%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot re \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot -3 \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -3.0))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -3.0;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-3.0d0)
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -3.0;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -3.0

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -3.0)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -3.0;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -3.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.9%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 93.6%

      \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

   3. +-commutative 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

   4. associate-*r* 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

   10. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-out 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

5. Simplified 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 2.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-3} \]

8. Final simplification 2.7%

   \[\leadsto -3 \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 2.8% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot -7.811031526073099 \cdot 10^{-12} \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -7.811031526073099e-12))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -7.811031526073099e-12;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-7.811031526073099d-12)
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -7.811031526073099e-12;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -7.811031526073099e-12

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -7.811031526073099e-12)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -7.811031526073099e-12;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -7.811031526073099e-12), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.9%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 93.6%

      \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

   3. +-commutative 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

   4. associate-*r* 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

   10. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-out 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

5. Simplified 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 2.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-7.811031526073099 \cdot 10^{-12}} \]

8. Final simplification 2.8%

   \[\leadsto -7.811031526073099 \cdot 10^{-12} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 12: 14.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im_m = \left|im\right| \\ im_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im_s \cdot 0 \end{array} \]

FPCore

im_m = (fabs.f64 im)
im_s = (copysign.f64 1 im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s 0.0))

C

im_m = fabs(im);
im_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * 0.0;
}

Fortran

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * 0.0d0
end function

Java

im_m = Math.abs(im);
im_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * 0.0;
}

Python

im_m = math.fabs(im)
im_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * 0.0

Julia

im_m = abs(im)
im_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * 0.0)
end

MATLAB

im_m = abs(im);
im_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * 0.0;
end

Wolfram

im_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * 0.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 66.9%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 93.6%

      \[\leadsto -1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]

   3. +-commutative 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right) + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]

   4. associate-*r* 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \sin re} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} + \left(-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-im \cdot \sin re\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(-\color{blue}{\sin re \cdot im}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative 93.6%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

   10. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-out 93.6%

       \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

5. Simplified 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 15.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

8. Final simplification 15.0%

   \[\leadsto 0 \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024020 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))