bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.0% → 98.1%

Time: 22.0s

Alternatives: 9

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.9335409060163376e+127

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x_m \leq 0.029:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x_m}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x_m}^{6} + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x_m \leq 700:\\ \;\;\;\;-\sqrt[3]{{\log \left(\frac{x_m}{\sinh x_m}\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + \left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x_m}\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x_m}^{2}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 0.029)
   (+
    (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0))
    (+
     (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))
     (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))))
   (if (<= x_m 700.0)
     (- (cbrt (pow (log (/ x_m (sinh x_m))) 3.0)))
     (+
      (log 0.0001984126984126984)
      (+ (* -6.0 (log (/ 1.0 x_m))) (* 42.0 (/ 1.0 (pow x_m 2.0))))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.029) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	} else if (x_m <= 700.0) {
		tmp = -cbrt(pow(log((x_m / sinh(x_m))), 3.0));
	} else {
		tmp = log(0.0001984126984126984) + ((-6.0 * log((1.0 / x_m))) + (42.0 * (1.0 / pow(x_m, 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.029) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	} else if (x_m <= 700.0) {
		tmp = -Math.cbrt(Math.pow(Math.log((x_m / Math.sinh(x_m))), 3.0));
	} else {
		tmp = Math.log(0.0001984126984126984) + ((-6.0 * Math.log((1.0 / x_m))) + (42.0 * (1.0 / Math.pow(x_m, 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 0.029)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))));
	elseif (x_m <= 700.0)
		tmp = Float64(-cbrt((log(Float64(x_m / sinh(x_m))) ^ 3.0)));
	else
		tmp = Float64(log(0.0001984126984126984) + Float64(Float64(-6.0 * log(Float64(1.0 / x_m))) + Float64(42.0 * Float64(1.0 / (x_m ^ 2.0)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 0.029], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$95$m, 700.0], (-N[Power[N[Power[N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), N[(N[Log[0.0001984126984126984], $MachinePrecision] + N[(N[(-6.0 * N[Log[N[(1.0 / x$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(42.0 * N[(1.0 / N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 0.0290000000000000015

   1. Initial program 56.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 98.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

      2. pow2 98.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

      3. *-commutative 98.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

      4. sqrt-prod 98.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

      5. unpow2 98.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

      6. sqrt-prod 46.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

      7. add-sqr-sqrt 98.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2}\right) \]

      2. add-sqr-sqrt 46.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}\right)}^{2}\right) \]

      3. sqrt-prod 98.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}\right)}^{2}\right) \]

      4. unpow2 98.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)}^{2}\right) \]

      5. sqrt-prod 98.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}}^{2}\right) \]

      6. pow2 98.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

      7. add-sqr-sqrt 98.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) \]

      8. unpow2 98.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

      9. associate-*r* 98.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   if 0.0290000000000000015 < x < 700

   1. Initial program 96.4%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 96.4%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 96.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 96.8%

         \[\leadsto -\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right) \cdot \log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)}} \]

      2. pow3 96.8%

         \[\leadsto -\sqrt[3]{\color{blue}{{\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{3}}} \]

   6. Applied egg-rr 96.8%

      \[\leadsto -\color{blue}{\sqrt[3]{{\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{3}}} \]

   if 700 < x

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 13.2%

      \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{x}\right) \]

   4. Taylor expanded in x around inf 13.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.0001984126984126984 + \left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 700:\\ \;\;\;\;-\sqrt[3]{{\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + \left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x_m}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x_m}^{6} + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 5 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x_m}{\sinh x_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + \left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x_m}\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x_m}^{2}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.0002)
     (+
      (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0))
      (+
       (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))
       (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))))
     (if (<= t_0 5e+40)
       (- (log (/ x_m (sinh x_m))))
       (+
        (log 0.0001984126984126984)
        (+ (* -6.0 (log (/ 1.0 x_m))) (* 42.0 (/ 1.0 (pow x_m 2.0)))))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0002) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	} else if (t_0 <= 5e+40) {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = log(0.0001984126984126984) + ((-6.0 * log((1.0 / x_m))) + (42.0 * (1.0 / pow(x_m, 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.0002d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x_m ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x_m ** 6.0d0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)))
    else if (t_0 <= 5d+40) then
        tmp = -log((x_m / sinh(x_m)))
    else
        tmp = log(0.0001984126984126984d0) + (((-6.0d0) * log((1.0d0 / x_m))) + (42.0d0 * (1.0d0 / (x_m ** 2.0d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0002) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	} else if (t_0 <= 5e+40) {
		tmp = -Math.log((x_m / Math.sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = Math.log(0.0001984126984126984) + ((-6.0 * Math.log((1.0 / x_m))) + (42.0 * (1.0 / Math.pow(x_m, 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0002:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)))
	elif t_0 <= 5e+40:
		tmp = -math.log((x_m / math.sinh(x_m)))
	else:
		tmp = math.log(0.0001984126984126984) + ((-6.0 * math.log((1.0 / x_m))) + (42.0 * (1.0 / math.pow(x_m, 2.0))))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0002)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))));
	elseif (t_0 <= 5e+40)
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	else
		tmp = Float64(log(0.0001984126984126984) + Float64(Float64(-6.0 * log(Float64(1.0 / x_m))) + Float64(42.0 * Float64(1.0 / (x_m ^ 2.0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0002)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	elseif (t_0 <= 5e+40)
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	else
		tmp = log(0.0001984126984126984) + ((-6.0 * log((1.0 / x_m))) + (42.0 * (1.0 / (x_m ^ 2.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0002], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e+40], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), N[(N[Log[0.0001984126984126984], $MachinePrecision] + N[(N[(-6.0 * N[Log[N[(1.0 / x$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(42.0 * N[(1.0 / N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0002

   1. Initial program 56.7%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

      2. pow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

      3. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

      4. sqrt-prod 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

      5. unpow2 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

      6. sqrt-prod 46.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

      7. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2}\right) \]

      2. add-sqr-sqrt 46.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}\right)}^{2}\right) \]

      3. sqrt-prod 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}\right)}^{2}\right) \]

      4. unpow2 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)}^{2}\right) \]

      5. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}}^{2}\right) \]

      6. pow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

      7. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) \]

      8. unpow2 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

      9. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   if 1.0002 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 5.00000000000000003e40

   1. Initial program 97.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 97.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   if 5.00000000000000003e40 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 13.4%

      \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{x}\right) \]

   4. Taylor expanded in x around inf 7.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.0001984126984126984 + \left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 5 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + \left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x_m \leq 0.082:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x_m}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x_m}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x_m}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x_m}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x_m}{\sinh x_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 0.082)
   (+
    (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0))
    (+
     (* -2.6455026455026456e-5 (pow x_m 8.0))
     (+
      (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))
      (* 0.16666666666666666 (pow x_m 2.0)))))
   (- (log (/ x_m (sinh x_m))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.082) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * pow(x_m, 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x_m, 2.0))));
	} else {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 0.082d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x_m ** 4.0d0)) + (((-2.6455026455026456d-5) * (x_m ** 8.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x_m ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x_m ** 2.0d0))))
    else
        tmp = -log((x_m / sinh(x_m)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.082) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x_m, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * Math.pow(x_m, 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x_m, 2.0))));
	} else {
		tmp = -Math.log((x_m / Math.sinh(x_m)));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 0.082:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x_m, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * math.pow(x_m, 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x_m, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x_m, 2.0))))
	else:
		tmp = -math.log((x_m / math.sinh(x_m)))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 0.082)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + Float64(Float64(-2.6455026455026456e-5 * (x_m ^ 8.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 0.082)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * (x_m ^ 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0))));
	else
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 0.082], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[Power[x$95$m, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.0820000000000000034

   1. Initial program 56.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   if 0.0820000000000000034 < x

   1. Initial program 58.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 58.1%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 58.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 58.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.082:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x_m}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x_m}^{6} + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 5 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x_m}{\sinh x_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + 6 \cdot \log x_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.0002)
     (+
      (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0))
      (+
       (* 0.0003527336860670194 (pow x_m 6.0))
       (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))))
     (if (<= t_0 5e+40)
       (- (log (/ x_m (sinh x_m))))
       (+ (log 0.0001984126984126984) (* 6.0 (log x_m)))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0002) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	} else if (t_0 <= 5e+40) {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = log(0.0001984126984126984) + (6.0 * log(x_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.0002d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x_m ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x_m ** 6.0d0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)))
    else if (t_0 <= 5d+40) then
        tmp = -log((x_m / sinh(x_m)))
    else
        tmp = log(0.0001984126984126984d0) + (6.0d0 * log(x_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0002) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	} else if (t_0 <= 5e+40) {
		tmp = -Math.log((x_m / Math.sinh(x_m)));
	} else {
		tmp = Math.log(0.0001984126984126984) + (6.0 * Math.log(x_m));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0002:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x_m, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x_m, 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)))
	elif t_0 <= 5e+40:
		tmp = -math.log((x_m / math.sinh(x_m)))
	else:
		tmp = math.log(0.0001984126984126984) + (6.0 * math.log(x_m))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0002)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))));
	elseif (t_0 <= 5e+40)
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	else
		tmp = Float64(log(0.0001984126984126984) + Float64(6.0 * log(x_m)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0002)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x_m ^ 6.0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666)));
	elseif (t_0 <= 5e+40)
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	else
		tmp = log(0.0001984126984126984) + (6.0 * log(x_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0002], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e+40], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), N[(N[Log[0.0001984126984126984], $MachinePrecision] + N[(6.0 * N[Log[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0002

   1. Initial program 56.7%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

      2. pow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

      3. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

      4. sqrt-prod 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

      5. unpow2 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

      6. sqrt-prod 46.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

      7. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2}\right) \]

      2. add-sqr-sqrt 46.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}\right)}^{2}\right) \]

      3. sqrt-prod 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}\right)}^{2}\right) \]

      4. unpow2 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)}^{2}\right) \]

      5. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}}^{2}\right) \]

      6. pow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

      7. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) \]

      8. unpow2 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

      9. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   if 1.0002 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 5.00000000000000003e40

   1. Initial program 97.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 97.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   if 5.00000000000000003e40 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 13.4%

      \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{x}\right) \]

   4. Taylor expanded in x around inf 7.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.0001984126984126984 + -6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. log-rec 7.9%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + -6 \cdot \color{blue}{\left(-\log x\right)} \]

      2. neg-mul-1 7.9%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + -6 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \log x\right)} \]

      3. associate-*r* 7.9%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + \color{blue}{\left(-6 \cdot -1\right) \cdot \log x} \]

      4. metadata-eval 7.9%

         \[\leadsto \log 0.0001984126984126984 + \color{blue}{6} \cdot \log x \]

   6. Simplified 7.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.0001984126984126984 + 6 \cdot \log x} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 5 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.0001984126984126984 + 6 \cdot \log x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x_m}{x_m} \leq 1.00005:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x_m \cdot 0.16666666666666666, x_m, -0.005555555555555556 \cdot {x_m}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x_m}{\sinh x_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x_m) x_m) 1.00005)
   (fma
    (* x_m 0.16666666666666666)
    x_m
    (* -0.005555555555555556 (pow x_m 4.0)))
   (- (log (/ x_m (sinh x_m))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.00005) {
		tmp = fma((x_m * 0.16666666666666666), x_m, (-0.005555555555555556 * pow(x_m, 4.0)));
	} else {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	}
	return tmp;
}

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x_m) / x_m) <= 1.00005)
		tmp = fma(Float64(x_m * 0.16666666666666666), x_m, Float64(-0.005555555555555556 * (x_m ^ 4.0)));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision], 1.00005], N[(N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x$95$m + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00005000000000011

   1. Initial program 56.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

      2. unpow2 99.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      3. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      4. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.00005000000000011 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 56.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 56.6%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 56.9%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00005:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x_m}{x_m} \leq 1.0000001:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x_m}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x_m}{\sinh x_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x_m) x_m) 1.0000001)
   (* 0.16666666666666666 (pow x_m 2.0))
   (- (log (/ x_m (sinh x_m))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.0000001) {
		tmp = 0.16666666666666666 * pow(x_m, 2.0);
	} else {
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.0000001d0) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x_m ** 2.0d0)
    else
        tmp = -log((x_m / sinh(x_m)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x_m) / x_m) <= 1.0000001) {
		tmp = 0.16666666666666666 * Math.pow(x_m, 2.0);
	} else {
		tmp = -Math.log((x_m / Math.sinh(x_m)));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x_m) / x_m) <= 1.0000001:
		tmp = 0.16666666666666666 * math.pow(x_m, 2.0)
	else:
		tmp = -math.log((x_m / math.sinh(x_m)))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x_m) / x_m) <= 1.0000001)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x_m / sinh(x_m))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.0000001)
		tmp = 0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0);
	else
		tmp = -log((x_m / sinh(x_m)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision], 1.0000001], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000010000000006

   1. Initial program 56.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.00000010000000006 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 58.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 58.1%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 59.1%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 59.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.0000001:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.0000001:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x_m}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.0000001) (* 0.16666666666666666 (pow x_m 2.0)) (log t_0))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0000001) {
		tmp = 0.16666666666666666 * pow(x_m, 2.0);
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.0000001d0) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x_m ** 2.0d0)
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.0000001) {
		tmp = 0.16666666666666666 * Math.pow(x_m, 2.0);
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.0000001:
		tmp = 0.16666666666666666 * math.pow(x_m, 2.0)
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.0000001)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.0000001)
		tmp = 0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0);
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.0000001], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000010000000006

   1. Initial program 56.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.00000010000000006 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 58.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.0000001:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0.16666666666666666 \cdot {x_m}^{2} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x_m 2.0)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x_m, 2.0);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.16666666666666666d0 * (x_m ** 2.0d0)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x_m, 2.0);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x_m, 2.0)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 95.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 50.9% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0 \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 0.0)

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.0;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.0d0
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.0;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.0

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return 0.0
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 56.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 53.3%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 53.3%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024019 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))