UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.8%

Time: 27.9s

Alternatives: 6

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\\ t_2 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_2 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot t_1}, xi, \sin t_2 \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot t_1} \cdot yi\right)\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))
        (t_1 (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0)))
        (t_2 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (fma
     (* (cos t_2) (sqrt (+ 1.0 (* t_0 t_1))))
     xi
     (* (sin t_2) (* (sqrt (+ 1.0 (* (* ux maxCos) t_1))) yi)))
    (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * (ux * maxCos);
	float t_1 = (ux * maxCos) * (ux + -1.0f);
	float t_2 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf((cosf(t_2) * sqrtf((1.0f + (t_0 * t_1)))), xi, (sinf(t_2) * (sqrtf((1.0f + ((ux * maxCos) * t_1))) * yi))) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0)))
	t_2 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_2) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * t_1)))), xi, Float32(sin(t_2) * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * maxCos) * t_1))) * yi))) + Float32(t_0 * zi))
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot t_0}, xi, \sin t_1 \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot t_0} \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0))) (t_1 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (fma
     (* (cos t_1) (sqrt (+ 1.0 (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) t_0))))
     xi
     (* (sin t_1) (* (sqrt (+ 1.0 (* (* ux maxCos) t_0))) yi)))
    (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (ux * maxCos) * (ux + -1.0f);
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf((cosf(t_1) * sqrtf((1.0f + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * t_0)))), xi, (sinf(t_1) * (sqrtf((1.0f + ((ux * maxCos) * t_0))) * yi))) + (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0)))
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * t_0)))), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * maxCos) * t_0))) * yi))) + Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot zi \]

   2. mul-1-neg 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

   3. distribute-rgt-neg-in 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{maxCos \cdot \left(-{ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

   4. unpow2 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + maxCos \cdot \left(-\color{blue}{ux \cdot ux}\right)\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(-ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

   6. distribute-lft-out 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux + \left(-ux\right) \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   7. *-rgt-identity 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux \cdot 1} + \left(-ux\right) \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   8. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 1 + \color{blue}{ux \cdot \left(-ux\right)}\right)\right) \cdot zi \]

   9. distribute-lft-in 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)\right)}\right) \cdot zi \]

   10. sub-neg 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot zi \]

8. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]

9. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin t_0 \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux))))
    (fma
     (*
      (cos t_0)
      (sqrt
       (+ 1.0 (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0))))))
     xi
     (* (sin t_0) (* yi (sqrt (- 1.0 (* (* ux maxCos) (* ux maxCos))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux)))) + fmaf((cosf(t_0) * sqrtf((1.0f + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * ((ux * maxCos) * (ux + -1.0f)))))), xi, (sinf(t_0) * (yi * sqrtf((1.0f - ((ux * maxCos) * (ux * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))) + fma(Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))), xi, Float32(sin(t_0) * Float32(yi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot zi \]

   2. mul-1-neg 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

   3. distribute-rgt-neg-in 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{maxCos \cdot \left(-{ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

   4. unpow2 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + maxCos \cdot \left(-\color{blue}{ux \cdot ux}\right)\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(-ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

   6. distribute-lft-out 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux + \left(-ux\right) \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

   7. *-rgt-identity 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux \cdot 1} + \left(-ux\right) \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   8. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 1 + \color{blue}{ux \cdot \left(-ux\right)}\right)\right) \cdot zi \]

   9. distribute-lft-in 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)\right)}\right) \cdot zi \]

   10. sub-neg 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot zi \]

8. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot zi \]

10. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\\ t_1 \cdot zi + \mathsf{fma}\left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 + t_1 \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin t_0 \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))) (t_1 (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (+
    (* t_1 zi)
    (fma
     (* (cos t_0) (sqrt (+ 1.0 (* t_1 (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0))))))
     xi
     (* (sin t_0) (* yi (sqrt (- 1.0 (* (* ux maxCos) (* ux maxCos))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_1 = (1.0f - ux) * (ux * maxCos);
	return (t_1 * zi) + fmaf((cosf(t_0) * sqrtf((1.0f + (t_1 * ((ux * maxCos) * (ux + -1.0f)))))), xi, (sinf(t_0) * (yi * sqrtf((1.0f - ((ux * maxCos) * (ux * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))
	return Float32(Float32(t_1 * zi) + fma(Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))), xi, Float32(sin(t_0) * Float32(yi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    (* (- 1.0 ux) maxCos)
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* maxCos (* (- 1.0 ux) (* (* ux ux) (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(((1.0f - ux) * maxCos), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (maxCos * ((1.0f - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+
     (* xi (* (cos t_1) (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (* yi (sin t_1)))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (yi * sinf(t_1))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (yi * sin(t_1))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024019 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))