bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.9% → 97.5%

Time: 19.8s

Alternatives: 6

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -6.627376159916636e+61

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathsf{log1p}\left({t_0}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(t_0 \cdot \left(t_0 + -1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (pow x 6.0)
          0.0001984126984126984
          (fma
           0.16666666666666666
           (pow x 2.0)
           (* (pow x 4.0) 0.008333333333333333)))))
   (- (log1p (pow t_0 3.0)) (log1p (* t_0 (+ t_0 -1.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 6.0), 0.0001984126984126984, fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333)));
	return log1p(pow(t_0, 3.0)) - log1p((t_0 * (t_0 + -1.0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 6.0), 0.0001984126984126984, fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64((x ^ 4.0) * 0.008333333333333333)))
	return Float64(log1p((t_0 ^ 3.0)) - log1p(Float64(t_0 * Float64(t_0 + -1.0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Log[1 + N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[1 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 54.3%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 54.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{{1}^{3} + {\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)} \]

   2. log-div 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({1}^{3} + {\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 \cdot 1 + \left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 54.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(1 + {\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log1p-def 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}^{3}\right)} - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   2. fma-udef 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   3. *-commutative 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984} + \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   4. fma-def 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   5. fma-udef 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   6. *-commutative 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} + {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   7. fma-def 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)}\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) \]

   8. log1p-def 97.2%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}^{3}\right) - \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(-1 + \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

8. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + -1\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
  (+
   (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194)
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (((x ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((Math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
  (* x (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (sqrt 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * sqrt(0.16666666666666666d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * math.sqrt(0.16666666666666666))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 96.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 50.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 96.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (pow x 2.0) 0.16666666666666666 (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)))

C

double code(double x) {
	return fma(pow(x, 2.0), 0.16666666666666666, (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556));
}

Julia

function code(x)
	return fma((x ^ 2.0), 0.16666666666666666, Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   3. fma-def 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

6. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 96.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.4%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 50.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \]

   3. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   4. swap-sqr 96.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. rem-square-sqrt 96.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.9% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 55.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 55.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

   3. log1p-udef 55.0%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

   4. rem-exp-log 55.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

4. Applied egg-rr 55.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]

5. Taylor expanded in x around 0 54.1%

   \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) - 1 \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} - 1 \]

   2. log1p-udef 54.1%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} - 1 \]

   3. expm1-udef 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   4. expm1-log1p-u 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   5. unpow2 96.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   6. associate-*r* 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024010 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))