ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.4% → 99.5%

Time: 20.1s

Alternatives: 6

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.6%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* x 0.16666666666666666) x (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma((x * 0.16666666666666666), x, (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(Float64(x * 0.16666666666666666), x, Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.6%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 72.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. pow1/3 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   4. *-commutative 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. unpow-prod-down 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow2 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   7. pow-prod-down 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-prod-up 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. metadata-eval 71.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 71.1%

       \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

5. Applied egg-rr 71.1%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 72.1%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

7. Simplified 72.1%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. cbrt-prod 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{0.004629629629629629}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. fma-def 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{{x}^{6}}, \sqrt[3]{0.004629629629629629}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   4. metadata-eval 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(4 + 2\right)}}}, \sqrt[3]{0.004629629629629629}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   5. pow-prod-up 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{4} \cdot {x}^{2}}}, \sqrt[3]{0.004629629629629629}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   6. metadata-eval 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot {x}^{2}}, \sqrt[3]{0.004629629629629629}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   7. pow-prod-up 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2}}, \sqrt[3]{0.004629629629629629}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   8. add-cbrt-cube 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2}}, \sqrt[3]{0.004629629629629629}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   10. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   11. rem-square-sqrt 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   12. rem-square-sqrt 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   13. rem-square-sqrt 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   14. add-cbrt-cube 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   15. rem-square-sqrt 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   16. fma-def 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   17. unpow2 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   18. rem-square-sqrt 99.5%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   19. swap-sqr 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   20. *-commutative 99.4%

       \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   21. associate-*l* 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

10. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.6%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. add-sqr-sqrt 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. fma-def 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   4. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   5. sqrt-prod 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   6. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   7. sqrt-prod 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   8. add-sqr-sqrt 77.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   9. *-commutative 77.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   10. sqrt-prod 77.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \color{blue}{\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   11. unpow2 77.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   12. sqrt-prod 51.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   13. add-sqr-sqrt 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

10. Taylor expanded in x around 0 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)} \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow2 99.5%

       \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

    2. rem-square-sqrt 99.5%

       \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

12. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

13. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.6%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 53.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \cos x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - cos(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cos(x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.cos(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - cos(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.6%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub 58.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} - \frac{\sin x}{\tan x}} \]

   2. div-inv 47.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\tan x}} - \frac{\sin x}{\tan x} \]

   3. tan-quot 47.3%

      \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\tan x} - \frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\cos x}}} \]

   4. associate-/r/ 47.3%

      \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\tan x} - \color{blue}{\frac{\sin x}{\sin x} \cdot \cos x} \]

   5. prod-diff 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

4. Applied egg-rr 4.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

   2. fma-udef 47.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{\tan x} + \left(-\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)\right)} \]

   3. associate-+r+ 47.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + x \cdot \frac{1}{\tan x}\right) + \left(-\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

6. Simplified 58.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} - \cos x} \]

7. Taylor expanded in x around 0 57.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1} - \cos x \]

8. Final simplification 57.9%

   \[\leadsto 1 - \cos x \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 58.6%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024010 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))