2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 98.1%

Time: 15.9s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.1% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ t_1 := \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin t_0\\ t_2 := \cos t_0\\ t_3 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ 2 \cdot \frac{{\left(t_2 \cdot t_3\right)}^{3} - {t_1}^{3}}{\mathsf{fma}\left(t_1, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - t_0\right), t_2 \cdot \left(t_2 \cdot \left(t_3 \cdot t_3\right)\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h))))
        (t_1 (* (sin (* 0.6666666666666666 PI)) (sin t_0)))
        (t_2 (cos t_0))
        (t_3 (cos (* 0.6666666666666666 PI))))
   (*
    2.0
    (/
     (- (pow (* t_2 t_3) 3.0) (pow t_1 3.0))
     (fma
      t_1
      (cos (- (* 0.6666666666666666 PI) t_0))
      (* t_2 (* t_2 (* t_3 t_3))))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 * acos((g / h));
	double t_1 = sin((0.6666666666666666 * ((double) M_PI))) * sin(t_0);
	double t_2 = cos(t_0);
	double t_3 = cos((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	return 2.0 * ((pow((t_2 * t_3), 3.0) - pow(t_1, 3.0)) / fma(t_1, cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) - t_0)), (t_2 * (t_2 * (t_3 * t_3)))));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h)))
	t_1 = Float64(sin(Float64(0.6666666666666666 * pi)) * sin(t_0))
	t_2 = cos(t_0)
	t_3 = cos(Float64(0.6666666666666666 * pi))
	return Float64(2.0 * Float64(Float64((Float64(t_2 * t_3) ^ 3.0) - (t_1 ^ 3.0)) / fma(t_1, cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) - t_0)), Float64(t_2 * Float64(t_2 * Float64(t_3 * t_3))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Power[N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] - N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$2 * N[(t$95$2 * N[(t$95$3 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

   4. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   5. add-sqr-sqrt 49.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   6. sqrt-unprod 90.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   7. sqr-neg 90.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   8. sqrt-unprod 48.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   10. metadata-eval 97.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

5. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cos-sum 97.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) - \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \]

   2. flip3-- 96.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) + \left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \left(\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 97.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 97.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \color{blue}{\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) + \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-commutative 97.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) + \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    3. *-commutative 97.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} + \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

    4. cos-diff 98.6%

       \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

11. Applied egg-rr 98.6%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

4. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 4: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h))) (* 0.6666666666666666 PI)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.3333333333333333 * acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.3333333333333333 * Math.acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * Math.PI)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.3333333333333333 * math.acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * math.pi)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))) + Float64(0.6666666666666666 * pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.3333333333333333 * acos((g / h))) + (0.6666666666666666 * pi)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

   4. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   5. add-sqr-sqrt 49.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   6. sqrt-unprod 90.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   7. sqr-neg 90.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   8. sqrt-unprod 48.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   10. metadata-eval 97.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

5. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

6. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023338 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))