bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.4% → 97.8%

Time: 18.2s

Alternatives: 8

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -6.859835148779735e+102

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x_m}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x_m \cdot \sqrt{{x_m}^{2} \cdot 0.027777777777777776}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \log \left(\sqrt{t_0}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.002)
     (+
      (* (pow x_m 4.0) -0.005555555555555556)
      (* x_m (sqrt (* (pow x_m 2.0) 0.027777777777777776))))
     (* 2.0 (log (sqrt t_0))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * sqrt((pow(x_m, 2.0) * 0.027777777777777776)));
	} else {
		tmp = 2.0 * log(sqrt(t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.002d0) then
        tmp = ((x_m ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x_m * sqrt(((x_m ** 2.0d0) * 0.027777777777777776d0)))
    else
        tmp = 2.0d0 * log(sqrt(t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (Math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * Math.sqrt((Math.pow(x_m, 2.0) * 0.027777777777777776)));
	} else {
		tmp = 2.0 * Math.log(Math.sqrt(t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.002:
		tmp = (math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * math.sqrt((math.pow(x_m, 2.0) * 0.027777777777777776)))
	else:
		tmp = 2.0 * math.log(math.sqrt(t_0))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = Float64(Float64((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x_m * sqrt(Float64((x_m ^ 2.0) * 0.027777777777777776))));
	else
		tmp = Float64(2.0 * log(sqrt(t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = ((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * sqrt(((x_m ^ 2.0) * 0.027777777777777776)));
	else
		tmp = 2.0 * log(sqrt(t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.002], N[(N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[Sqrt[N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 * N[Log[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.002

   1. Initial program 49.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

      3. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

      5. unpow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      6. sqrt-prod 52.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      7. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   4. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

      2. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

      3. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)} \cdot x \]

      2. add-sqr-sqrt 52.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

      3. unswap-sqr 52.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)} \cdot x \]

      4. sqrt-prod 52.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

      5. *-commutative 52.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot x}} \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

      6. sqrt-prod 52.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}}\right) \cdot x \]

      7. *-commutative 52.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot x}}\right) \cdot x \]

      8. sqrt-unprod 77.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}} \cdot x \]

      9. *-commutative 77.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]

      10. *-commutative 77.7%

          \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot x \]

      11. swap-sqr 77.7%

          \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot x \]

      12. unpow2 77.7%

          \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x \]

      13. metadata-eval 77.7%

          \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{2} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \cdot x \]

   8. Applied egg-rr 77.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot x \]

   if 1.002 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 70.5%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

      2. pow2 70.5%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{2}\right)} \]

      3. log-pow 70.7%

         \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 70.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x_m}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x_m}^{2}, {x_m}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (expm1
  (log1p
   (log1p
    (fma
     (pow x_m 6.0)
     0.0001984126984126984
     (fma
      0.16666666666666666
      (pow x_m 2.0)
      (* (pow x_m 4.0) 0.008333333333333333)))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return expm1(log1p(log1p(fma(pow(x_m, 6.0), 0.0001984126984126984, fma(0.16666666666666666, pow(x_m, 2.0), (pow(x_m, 4.0) * 0.008333333333333333))))));
}

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return expm1(log1p(log1p(fma((x_m ^ 6.0), 0.0001984126984126984, fma(0.16666666666666666, (x_m ^ 2.0), Float64((x_m ^ 4.0) * 0.008333333333333333))))))
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(Exp[N[Log[1 + N[Log[1 + N[(N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 49.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. log1p-def 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-def 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-def 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x_m}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \log \left(\sqrt{t_0}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.002)
     (+
      (* (pow x_m 4.0) -0.005555555555555556)
      (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))
     (* 2.0 (log (sqrt t_0))))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = 2.0 * log(sqrt(t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.002d0) then
        tmp = ((x_m ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = 2.0d0 * log(sqrt(t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (Math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = 2.0 * Math.log(Math.sqrt(t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.002:
		tmp = (math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = 2.0 * math.log(math.sqrt(t_0))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = Float64(Float64((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(2.0 * log(sqrt(t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = ((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = 2.0 * log(sqrt(t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.002], N[(N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 * N[Log[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.002

   1. Initial program 49.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

      3. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

      5. unpow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      6. sqrt-prod 52.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      7. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   4. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \]

      4. swap-sqr 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      5. rem-square-sqrt 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      6. associate-*r* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.002 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 70.5%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

      2. pow2 70.5%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{2}\right)} \]

      3. log-pow 70.7%

         \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 70.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 97.2% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ {x_m}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x_m}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + 0.16666666666666666 \cdot {x_m}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x_m 4.0) -0.005555555555555556)
  (+
   (* (pow x_m 6.0) 0.0003527336860670194)
   (* 0.16666666666666666 (pow x_m 2.0)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return (pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((pow(x_m, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * pow(x_m, 2.0)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = ((x_m ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (((x_m ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0) + (0.16666666666666666d0 * (x_m ** 2.0d0)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return (Math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((Math.pow(x_m, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x_m, 2.0)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return (math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((math.pow(x_m, 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * math.pow(x_m, 2.0)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(Float64((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(Float64((x_m ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + Float64(0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = ((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (((x_m ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + (0.16666666666666666 * (x_m ^ 2.0)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x$95$m, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

Alternative 5: 97.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x_m}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \log t_0\right) + -1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.002)
     (+
      (* (pow x_m 4.0) -0.005555555555555556)
      (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))
     (+ (+ 1.0 (log t_0)) -1.0))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (1.0 + log(t_0)) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.002d0) then
        tmp = ((x_m ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = (1.0d0 + log(t_0)) + (-1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (Math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (1.0 + Math.log(t_0)) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.002:
		tmp = (math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = (1.0 + math.log(t_0)) + -1.0
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = Float64(Float64((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + log(t_0)) + -1.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = ((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = (1.0 + log(t_0)) + -1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.002], N[(N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.002

   1. Initial program 49.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

      3. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

      5. unpow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      6. sqrt-prod 52.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      7. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   4. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \]

      4. swap-sqr 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      5. rem-square-sqrt 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      6. associate-*r* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.002 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 69.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 70.0%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

      3. log1p-udef 70.0%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

      4. rem-exp-log 70.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

   3. Applied egg-rr 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) + -1\\ \end{array} \]

Alternative 6: 97.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x_m}{x_m}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x_m}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.002)
     (+
      (* (pow x_m 4.0) -0.005555555555555556)
      (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))
     (log t_0))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.002d0) then
        tmp = ((x_m ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.002) {
		tmp = (Math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.002:
		tmp = (math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = Float64(Float64((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.002)
		tmp = ((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.002], N[(N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.002

   1. Initial program 49.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

      3. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

      5. unpow2 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      6. sqrt-prod 52.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

      7. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   4. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \]

      4. swap-sqr 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      5. rem-square-sqrt 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      6. associate-*r* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.002 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.5%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.002:\\ \;\;\;\;{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 96.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ {x_m}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x_m 4.0) -0.005555555555555556)
  (* x_m (* x_m 0.16666666666666666))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return (pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = ((x_m ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return (Math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return (math.pow(x_m, 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(Float64((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = ((x_m ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (x_m * (x_m * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(N[(N[Power[x$95$m, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 96.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 97.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 97.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 51.3%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 97.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   3. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \]

   4. swap-sqr 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. rem-square-sqrt 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 8: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x_m \cdot \left(x_m \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 96.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 97.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 97.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 51.3%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 97.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 96.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   3. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \]

   4. swap-sqr 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. rem-square-sqrt 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. associate-*r* 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023337 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))