ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.0% → 99.6%

Time: 18.8s

Alternatives: 8

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

3. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* x (* x 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right)\right) \]

   2. pow2 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right)\right) \]

   4. sqrt-prod 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right)\right) \]

   5. unpow2 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)\right) \]

   6. sqrt-prod 41.6%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2}\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt 41.6%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)}\right)}^{2}\right)\right) \]

   3. sqrt-prod 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot x}}\right)}^{2}\right)\right) \]

   4. unpow2 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)}^{2}\right)\right) \]

   5. sqrt-prod 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}}^{2}\right)\right) \]

   6. pow2 99.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right)\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right) \]

   8. unpow2 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

Alternative 4: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 5: 98.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (pow x 2.0) (/ 0.16666666666666666 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	return x * (pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 / tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / Math.tan(x)));
}

Python

def code(x):
	return x * (math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / math.tan(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 / tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 83.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. pow2 83.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}\right)}^{2}} \]

   3. *-un-lft-identity 83.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{1 \cdot \tan x}}}\right)}^{2} \]

   4. times-frac 83.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{1} \cdot \frac{{x}^{3}}{\tan x}}}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 83.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \frac{{x}^{3}}{\tan x}}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 83.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{3}}{\tan x}}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 83.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. add-sqr-sqrt 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{3}}{\tan x}} \]

   3. associate-*r/ 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \]

   4. associate-/l* 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

6. Applied egg-rr 83.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{3}} \]

   2. unpow3 83.2%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} \]

   4. pow2 98.7%

      \[\leadsto \left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot x \]

8. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

9. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \]

Alternative 6: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 7: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

5. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. add-cbrt-cube 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. pow1/3 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   4. pow3 67.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   5. *-commutative 67.3%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow-prod-down 67.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   7. unpow2 67.3%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-prod-down 67.3%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. pow-prod-up 67.3%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 67.3%

       \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   11. metadata-eval 67.3%

       \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

7. Applied egg-rr 67.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 68.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

9. Simplified 68.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 68.3%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.004629629629629629 \cdot {x}^{6}}} \]

    2. cbrt-prod 68.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}}} \]

    3. metadata-eval 68.3%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    4. metadata-eval 68.3%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    5. rem-3cbrt-lft 68.2%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    6. rem-3cbrt-lft 68.0%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    7. rem-3cbrt-lft 68.0%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    8. add-cbrt-cube 68.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    9. rem-3cbrt-lft 68.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

    10. metadata-eval 68.3%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(3 + 3\right)}}} \]

    11. pow-prod-up 68.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot {x}^{3}}} \]

    12. cbrt-prod 82.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{3}}\right)} \]

    13. rem-cbrt-cube 82.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt[3]{{x}^{3}}\right) \]

    14. rem-cbrt-cube 98.7%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right) \]

    15. associate-*l* 98.7%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

11. Applied egg-rr 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

12. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 8: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 1 \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023336 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))