Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 98.2%

Time: 5.8s

Alternatives: 5

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 98.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x_m}\\ t_1 := \frac{e^{x_m} - t_0}{e^{x_m} + t_0}\\ x_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t_1 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;x_m + {x_m}^{3} \cdot -0.3333333333333333\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 2:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x_m\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
x_s = (copysign.f64 1 x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x_m))) (t_1 (/ (- (exp x_m) t_0) (+ (exp x_m) t_0))))
   (*
    x_s
    (if (<= t_1 0.0001)
      (+ x_m (* (pow x_m 3.0) -0.3333333333333333))
      (if (<= t_1 2.0) t_1 x_m)))))

C

x_m = fabs(x);
x_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = exp(-x_m);
	double t_1 = (exp(x_m) - t_0) / (exp(x_m) + t_0);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0001) {
		tmp = x_m + (pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333);
	} else if (t_1 <= 2.0) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-x_m)
    t_1 = (exp(x_m) - t_0) / (exp(x_m) + t_0)
    if (t_1 <= 0.0001d0) then
        tmp = x_m + ((x_m ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
    else if (t_1 <= 2.0d0) then
        tmp = t_1
    else
        tmp = x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
x_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = Math.exp(-x_m);
	double t_1 = (Math.exp(x_m) - t_0) / (Math.exp(x_m) + t_0);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0001) {
		tmp = x_m + (Math.pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333);
	} else if (t_1 <= 2.0) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
x_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	t_0 = math.exp(-x_m)
	t_1 = (math.exp(x_m) - t_0) / (math.exp(x_m) + t_0)
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.0001:
		tmp = x_m + (math.pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333)
	elif t_1 <= 2.0:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = x_m
	return x_s * tmp

Julia

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	t_0 = exp(Float64(-x_m))
	t_1 = Float64(Float64(exp(x_m) - t_0) / Float64(exp(x_m) + t_0))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.0001)
		tmp = Float64(x_m + Float64((x_m ^ 3.0) * -0.3333333333333333));
	elseif (t_1 <= 2.0)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = x_m;
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x_m = abs(x);
x_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	t_0 = exp(-x_m);
	t_1 = (exp(x_m) - t_0) / (exp(x_m) + t_0);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.0001)
		tmp = x_m + ((x_m ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
	elseif (t_1 <= 2.0)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x$95$m)], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Exp[x$95$m], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x$95$m], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(x$95$s * If[LessEqual[t$95$1, 0.0001], N[(x$95$m + N[(N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 2.0], t$95$1, x$95$m]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 9.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

   4. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))) < 2

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   if 2 < (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))))

   1. Initial program 0.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 12.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\\ \mathbf{elif}\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \leq 2:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.2% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x_s \cdot \frac{0.0003968253968253968 \cdot {x_m}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x_m}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x_m}^{3} + x_m \cdot 2\right)\right)}{e^{x_m} + e^{-x_m}} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
x_s = (copysign.f64 1 x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (/
   (+
    (* 0.0003968253968253968 (pow x_m 7.0))
    (+
     (* 0.016666666666666666 (pow x_m 5.0))
     (+ (* 0.3333333333333333 (pow x_m 3.0)) (* x_m 2.0))))
   (+ (exp x_m) (exp (- x_m))))))

C

x_m = fabs(x);
x_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (((0.0003968253968253968 * pow(x_m, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * pow(x_m, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * pow(x_m, 3.0)) + (x_m * 2.0)))) / (exp(x_m) + exp(-x_m)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (((0.0003968253968253968d0 * (x_m ** 7.0d0)) + ((0.016666666666666666d0 * (x_m ** 5.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (x_m ** 3.0d0)) + (x_m * 2.0d0)))) / (exp(x_m) + exp(-x_m)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
x_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (((0.0003968253968253968 * Math.pow(x_m, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * Math.pow(x_m, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x_m, 3.0)) + (x_m * 2.0)))) / (Math.exp(x_m) + Math.exp(-x_m)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
x_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (((0.0003968253968253968 * math.pow(x_m, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * math.pow(x_m, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x_m, 3.0)) + (x_m * 2.0)))) / (math.exp(x_m) + math.exp(-x_m)))

Julia

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x_m ^ 7.0)) + Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x_m ^ 5.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x_m ^ 3.0)) + Float64(x_m * 2.0)))) / Float64(exp(x_m) + exp(Float64(-x_m)))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
x_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (((0.0003968253968253968 * (x_m ^ 7.0)) + ((0.016666666666666666 * (x_m ^ 5.0)) + ((0.3333333333333333 * (x_m ^ 3.0)) + (x_m * 2.0)))) / (exp(x_m) + exp(-x_m)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x$95$m], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x$95$m)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Alternative 3: 97.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x_s \cdot \left(x_m + \left({x_m}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {x_m}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
x_s = (copysign.f64 1 x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (+
   x_m
   (+
    (* (pow x_m 3.0) -0.3333333333333333)
    (* (pow x_m 5.0) 0.13333333333333333)))))

C

x_m = fabs(x);
x_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m + ((pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333) + (pow(x_m, 5.0) * 0.13333333333333333)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m + (((x_m ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + ((x_m ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
x_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m + ((Math.pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333) + (Math.pow(x_m, 5.0) * 0.13333333333333333)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
x_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m + ((math.pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333) + (math.pow(x_m, 5.0) * 0.13333333333333333)))

Julia

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m + Float64(Float64((x_m ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64((x_m ^ 5.0) * 0.13333333333333333))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
x_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m + (((x_m ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + ((x_m ^ 5.0) * 0.13333333333333333)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m + N[(N[(N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x$95$m, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

3. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \]

Alternative 4: 97.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x_s \cdot \left(\left(x_m - 0.3333333333333333 \cdot {x_m}^{3}\right) + {x_m}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
x_s = (copysign.f64 1 x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (+
   (- x_m (* 0.3333333333333333 (pow x_m 3.0)))
   (* (pow x_m 5.0) 0.13333333333333333))))

C

x_m = fabs(x);
x_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m - (0.3333333333333333 * pow(x_m, 3.0))) + (pow(x_m, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Fortran

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((x_m - (0.3333333333333333d0 * (x_m ** 3.0d0))) + ((x_m ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
x_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m - (0.3333333333333333 * Math.pow(x_m, 3.0))) + (Math.pow(x_m, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
x_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((x_m - (0.3333333333333333 * math.pow(x_m, 3.0))) + (math.pow(x_m, 5.0) * 0.13333333333333333))

Julia

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m - Float64(0.3333333333333333 * (x_m ^ 3.0))) + Float64((x_m ^ 5.0) * 0.13333333333333333)))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
x_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((x_m - (0.3333333333333333 * (x_m ^ 3.0))) + ((x_m ^ 5.0) * 0.13333333333333333));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m - N[(0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x$95$m, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}} \]

   2. +-commutative 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right)} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} \]

   3. *-commutative 95.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} + x\right) + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} \]

   4. fma-def 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, x\right)} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} \]

   5. *-commutative 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, x\right) + \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.13333333333333333} \]

4. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, x\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + x\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   2. +-commutative 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   3. *-commutative 95.8%

      \[\leadsto \left(x + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   4. add-sqr-sqrt 79.5%

      \[\leadsto \left(x + \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   5. sqrt-unprod 95.4%

      \[\leadsto \left(x + \color{blue}{\sqrt{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   6. swap-sqr 95.4%

      \[\leadsto \left(x + \sqrt{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   7. metadata-eval 95.4%

      \[\leadsto \left(x + \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   8. metadata-eval 95.4%

      \[\leadsto \left(x + \sqrt{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   9. swap-sqr 95.4%

      \[\leadsto \left(x + \sqrt{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   10. sqrt-unprod 73.7%

       \[\leadsto \left(x + \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   11. add-sqr-sqrt 95.2%

       \[\leadsto \left(x + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   12. metadata-eval 95.2%

       \[\leadsto \left(x + \color{blue}{\left(--0.3333333333333333\right)} \cdot {x}^{3}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   13. cancel-sign-sub-inv 95.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x - -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   14. sub-neg 95.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x + \left(--0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   15. add-sqr-sqrt 79.3%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   16. sqrt-unprod 95.6%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   17. swap-sqr 95.6%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   18. metadata-eval 95.6%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   19. metadata-eval 95.6%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   20. swap-sqr 95.6%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   21. sqrt-unprod 74.1%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

   22. add-sqr-sqrt 95.8%

       \[\leadsto \left(x + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}\right)\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

6. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]
7. Step-by-step derivation

   1. unsub-neg 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x - 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

8. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x - 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)} + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

9. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto \left(x - 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

Alternative 5: 96.7% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x_s \cdot x_m \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
x_s = (copysign.f64 1 x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s x_m))

C

x_m = fabs(x);
x_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Fortran

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * x_m
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
x_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
x_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * x_m

Julia

x_m = abs(x)
x_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * x_m)
end

MATLAB

x_m = abs(x);
x_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * x_m;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * x$95$m), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 95.4%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023334 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))