Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.2% → 98.6%

Time: 7.3s

Alternatives: 5

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 98.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;e^{x + {x}^{2} \cdot -0.5} + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.5)
   (+ (exp (+ x (* (pow x 2.0) -0.5))) -1.0)
   (/
    (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))
    (+ 2.0 (+ (pow x 2.0) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = exp((x + (pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	} else {
		tmp = ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + (pow(x, 2.0) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.5d0)) then
        tmp = exp((x + ((x ** 2.0d0) * (-0.5d0)))) + (-1.0d0)
    else
        tmp = ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (x * 2.0d0)) / (2.0d0 + ((x ** 2.0d0) + (0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = Math.exp((x + (Math.pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	} else {
		tmp = ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + (Math.pow(x, 2.0) + (0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.5:
		tmp = math.exp((x + (math.pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0
	else:
		tmp = ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + (math.pow(x, 2.0) + (0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.5)
		tmp = Float64(exp(Float64(x + Float64((x ^ 2.0) * -0.5))) + -1.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / Float64(2.0 + Float64((x ^ 2.0) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.5)
		tmp = exp((x + ((x ^ 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	else
		tmp = ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + ((x ^ 2.0) + (0.08333333333333333 * (x ^ 4.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.5], N[(N[Exp[N[(x + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.5

   1. Initial program 16.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 13.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right) + 2}} \]

      2. associate-+l+ 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{2} + 2\right)}} \]

      3. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}} \]

      4. fma-def 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 2 + {x}^{2}\right)}} \]

      5. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{2} + 2}\right)} \]

      6. unpow2 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot x} + 2\right)} \]

      7. fma-def 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}\right)} \]

   5. Simplified 13.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 13.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 13.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1} \]

      3. fma-def 13.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1 \]

      4. *-commutative 13.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 2}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1 \]

   7. Applied egg-rr 13.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 89.5%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{x + -0.5 \cdot {x}^{2}}} - 1 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 89.5%

         \[\leadsto e^{x + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.5}} - 1 \]

   10. Simplified 89.5%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{x + {x}^{2} \cdot -0.5}} - 1 \]

   if -1.5 < x

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;e^{x + {x}^{2} \cdot -0.5} + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.98:\\ \;\;\;\;e^{x + {x}^{2} \cdot -0.5} + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.98)
   (+ (exp (+ x (* (pow x 2.0) -0.5))) -1.0)
   (/ (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0)) (fma x x 2.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.98) {
		tmp = exp((x + (pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	} else {
		tmp = ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.98)
		tmp = Float64(exp(Float64(x + Float64((x ^ 2.0) * -0.5))) + -1.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.98], N[(N[Exp[N[(x + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.97999999999999998

   1. Initial program 16.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 13.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right) + 2}} \]

      2. associate-+l+ 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{2} + 2\right)}} \]

      3. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}} \]

      4. fma-def 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 2 + {x}^{2}\right)}} \]

      5. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{2} + 2}\right)} \]

      6. unpow2 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot x} + 2\right)} \]

      7. fma-def 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}\right)} \]

   5. Simplified 13.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 13.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 13.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1} \]

      3. fma-def 13.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1 \]

      4. *-commutative 13.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 2}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1 \]

   7. Applied egg-rr 13.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 89.5%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{x + -0.5 \cdot {x}^{2}}} - 1 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 89.5%

         \[\leadsto e^{x + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.5}} - 1 \]

   10. Simplified 89.5%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{x + {x}^{2} \cdot -0.5}} - 1 \]

   if -0.97999999999999998 < x

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 7.7%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

      2. unpow2 7.7%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

      3. fma-def 7.7%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

   5. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.98:\\ \;\;\;\;e^{x + {x}^{2} \cdot -0.5} + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 98.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.395:\\ \;\;\;\;e^{x + {x}^{2} \cdot -0.5} + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.395)
   (+ (exp (+ x (* (pow x 2.0) -0.5))) -1.0)
   (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.395) {
		tmp = exp((x + (pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	} else {
		tmp = x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.395d0)) then
        tmp = exp((x + ((x ** 2.0d0) * (-0.5d0)))) + (-1.0d0)
    else
        tmp = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.395) {
		tmp = Math.exp((x + (Math.pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	} else {
		tmp = x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -0.395:
		tmp = math.exp((x + (math.pow(x, 2.0) * -0.5))) + -1.0
	else:
		tmp = x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.395)
		tmp = Float64(exp(Float64(x + Float64((x ^ 2.0) * -0.5))) + -1.0);
	else
		tmp = Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.395)
		tmp = exp((x + ((x ^ 2.0) * -0.5))) + -1.0;
	else
		tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.395], N[(N[Exp[N[(x + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision], N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.39500000000000002

   1. Initial program 16.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 13.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right) + 2}} \]

      2. associate-+l+ 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{2} + 2\right)}} \]

      3. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}} \]

      4. fma-def 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 2 + {x}^{2}\right)}} \]

      5. +-commutative 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{2} + 2}\right)} \]

      6. unpow2 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot x} + 2\right)} \]

      7. fma-def 13.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}\right)} \]

   5. Simplified 13.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 13.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 13.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1} \]

      3. fma-def 13.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1 \]

      4. *-commutative 13.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 2}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1 \]

   7. Applied egg-rr 13.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}\right)} - 1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 89.5%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{x + -0.5 \cdot {x}^{2}}} - 1 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 89.5%

         \[\leadsto e^{x + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.5}} - 1 \]

   10. Simplified 89.5%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{x + {x}^{2} \cdot -0.5}} - 1 \]

   if -0.39500000000000002 < x

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

   4. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.395:\\ \;\;\;\;e^{x + {x}^{2} \cdot -0.5} + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 4: 97.0% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 7.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 7.7%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 7.7%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-def 7.7%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

4. Simplified 7.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

6. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

Alternative 5: 97.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023333 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))