ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.0% → 99.4%

Time: 14.8s

Alternatives: 4

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* 0.16666666666666666 x) x (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma((0.16666666666666666 * x), x, (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(Float64(0.16666666666666666 * x), x, Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] * x + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. unpow2 99.4%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   4. fma-def 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 2: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{x}^{2}}{6} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow x 2.0) 6.0))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) / 6.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) / 6.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) / 6.0;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) / 6.0

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) / 6.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) / 6.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] / 6.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 65.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. pow1/3 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 64.7%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   4. *-commutative 64.7%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. unpow-prod-down 64.7%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow2 64.7%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   7. pow-prod-down 64.7%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-prod-up 64.7%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. metadata-eval 64.7%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 64.7%

       \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

4. Applied egg-rr 64.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

6. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.004629629629629629 \cdot {x}^{6}}} \]

   2. cbrt-prod 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}}} \]

   3. metadata-eval 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   4. metadata-eval 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   5. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   6. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   7. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   8. add-cbrt-cube 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   9. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   10. metadata-eval 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(4 + 2\right)}}} \]

   11. pow-prod-up 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{4} \cdot {x}^{2}}} \]

   12. metadata-eval 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot {x}^{2}} \]

   13. pow-prod-up 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2}} \]

   14. add-cbrt-cube 99.0%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

   15. unpow2 99.0%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   16. associate-*r* 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   2. unpow2 99.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   4. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} \]

   5. div-inv 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{6}} \]

10. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{6}} \]

11. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \frac{{x}^{2}}{6} \]

Alternative 3: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* 0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.16666666666666666d0 * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Python

def code(x):
	return x * (0.16666666666666666 * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.16666666666666666 * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 65.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. pow1/3 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 64.7%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   4. *-commutative 64.7%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   5. unpow-prod-down 64.7%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   6. unpow2 64.7%

      \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   7. pow-prod-down 64.7%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   8. pow-prod-up 64.7%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   9. metadata-eval 64.7%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   10. metadata-eval 64.7%

       \[\leadsto {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333} \]

4. Applied egg-rr 64.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]

6. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.004629629629629629 \cdot {x}^{6}}} \]

   2. cbrt-prod 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{0.004629629629629629} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}}} \]

   3. metadata-eval 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   4. metadata-eval 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   5. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   6. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   7. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   8. add-cbrt-cube 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   9. rem-square-sqrt 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6}} \]

   10. metadata-eval 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(4 + 2\right)}}} \]

   11. pow-prod-up 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{4} \cdot {x}^{2}}} \]

   12. metadata-eval 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot {x}^{2}} \]

   13. pow-prod-up 65.6%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2}} \]

   14. add-cbrt-cube 99.0%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

   15. unpow2 99.0%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   16. associate-*r* 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

9. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 4: 4.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 1 \]

Developer target: 98.6% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023333 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))