Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.3% → 97.0%

Time: 6.2s

Alternatives: 8

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))
  (+ 2.0 (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (x * 2.0d0)) / (2.0d0 + ((0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0)) + (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0)) + Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0)) + math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / Float64(2.0 + Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)} \]

Alternative 2: 97.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0)) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

6. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

Alternative 3: 96.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {x}^{5} \cdot 0.125\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ x (+ (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333) (* (pow x 5.0) 0.125))))

C

double code(double x) {
	return x + ((pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (pow(x, 5.0) * 0.125));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + ((x ** 5.0d0) * 0.125d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (Math.pow(x, 5.0) * 0.125));
}

Python

def code(x):
	return x + ((math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (math.pow(x, 5.0) * 0.125))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64((x ^ 5.0) * 0.125)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + ((x ^ 5.0) * 0.125));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.125 \cdot {x}^{5}\right)} \]

4. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {x}^{5} \cdot 0.125\right) \]

Alternative 4: 97.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  x
  (+ (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333) (* 0.13333333333333333 (pow x 5.0)))))

C

double code(double x) {
	return x + ((pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * pow(x, 5.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (0.13333333333333333d0 * (x ** 5.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * Math.pow(x, 5.0)));
}

Python

def code(x):
	return x + ((math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * math.pow(x, 5.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(0.13333333333333333 * (x ^ 5.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * (x ^ 5.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.13333333333333333 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

3. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \]

Alternative 5: 96.8% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x}\right) \cdot \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x (/ 1.0 (* 2.0 (cosh x)))) (+ 2.0 (* x (* 0.3333333333333333 x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * (1.0 / (2.0 * cosh(x)))) * (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (1.0d0 / (2.0d0 * cosh(x)))) * (2.0d0 + (x * (0.3333333333333333d0 * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (1.0 / (2.0 * Math.cosh(x)))) * (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x)));
}

Python

def code(x):
	return (x * (1.0 / (2.0 * math.cosh(x)))) * (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(1.0 / Float64(2.0 * cosh(x)))) * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(0.3333333333333333 * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (1.0 / (2.0 * cosh(x)))) * (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(1.0 / N[(2.0 * N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(x * N[(0.3333333333333333 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around inf 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{x}^{3}}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{e^{x} + e^{-x}}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333}}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. cube-mult 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. associate-*l* 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. associate-*l/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot 2} \]

   7. distribute-lft-out 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)} \]

   8. associate-*l* 95.9%

      \[\leadsto \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}}\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   2. cosh-undef 95.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

7. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x}\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

8. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \left(x \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x}\right) \cdot \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \]

Alternative 6: 96.8% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \frac{x}{\frac{\cosh x}{0.5}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (+ 2.0 (* x (* 0.3333333333333333 x))) (/ x (/ (cosh x) 0.5))))

C

double code(double x) {
	return (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x))) * (x / (cosh(x) / 0.5));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (2.0d0 + (x * (0.3333333333333333d0 * x))) * (x / (cosh(x) / 0.5d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x))) * (x / (Math.cosh(x) / 0.5));
}

Python

def code(x):
	return (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x))) * (x / (math.cosh(x) / 0.5))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(2.0 + Float64(x * Float64(0.3333333333333333 * x))) * Float64(x / Float64(cosh(x) / 0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (2.0 + (x * (0.3333333333333333 * x))) * (x / (cosh(x) / 0.5));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(2.0 + N[(x * N[(0.3333333333333333 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[(N[Cosh[x], $MachinePrecision] / 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around inf 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{x}^{3}}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{e^{x} + e^{-x}}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333}}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. cube-mult 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. associate-*l* 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{e^{x} + e^{-x}} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. associate-*l/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot 2} \]

   7. distribute-lft-out 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)} \]

   8. associate-*l* 95.9%

      \[\leadsto \frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{e^{x} + e^{-x}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{e^{x} + e^{-x}}\right)\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   2. expm1-udef 9.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   3. *-un-lft-identity 9.2%

      \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   4. cosh-undef 9.2%

      \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{1 \cdot x}{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}\right)} - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   5. times-frac 9.2%

      \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\cosh x}}\right)} - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   6. metadata-eval 9.2%

      \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.5} \cdot \frac{x}{\cosh x}\right)} - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

7. Applied egg-rr 9.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right)} - 1\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right)\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   2. expm1-log1p 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   3. associate-*r/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot x}{\cosh x}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   4. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot 0.5}}{\cosh x} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

   5. associate-/l* 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\cosh x}{0.5}}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

9. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\cosh x}{0.5}}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right) \]

10. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \frac{x}{\frac{\cosh x}{0.5}} \]

Alternative 7: 96.6% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.7%

      \[\leadsto x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

4. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

5. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]

Alternative 8: 96.5% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 10.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 95.2%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023332 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))