bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.7% → 97.2%

Time: 21.9s

Alternatives: 9

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = 2.3665952004894443e+93

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 1.1)
   (fma 0.16666666666666666 (pow x 2.0) (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556))
   (- (log (/ x (sinh x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.1) {
		tmp = fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556));
	} else {
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 1.1)
		tmp = fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x / sinh(x))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 1.1], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x / N[Sinh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.1000000000000001

   1. Initial program 50.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

      2. fma-def 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   4. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.1000000000000001 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 46.7%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. clear-num 46.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 46.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 96.8% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\\ \mathsf{log1p}\left({t_0}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left({t_0}^{2} - t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (pow x 6.0)
          0.0001984126984126984
          (fma
           (pow x 4.0)
           0.008333333333333333
           (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))
   (- (log1p (pow t_0 3.0)) (log1p (- (pow t_0 2.0) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 6.0), 0.0001984126984126984, fma(pow(x, 4.0), 0.008333333333333333, (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))));
	return log1p(pow(t_0, 3.0)) - log1p((pow(t_0, 2.0) - t_0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 6.0), 0.0001984126984126984, fma((x ^ 4.0), 0.008333333333333333, Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
	return Float64(log1p((t_0 ^ 3.0)) - log1p(Float64((t_0 ^ 2.0) - t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Log[1 + N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[1 + N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 49.3%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 49.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{{1}^{3} + {\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)} \]

   2. log-div 49.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({1}^{3} + {\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 \cdot 1 + \left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 96.7% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\\ \mathsf{log1p}\left({t_0}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(\left({x}^{6} \cdot 0.002777777777777778 + {x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right) - t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (pow x 6.0)
          0.0001984126984126984
          (fma
           (pow x 4.0)
           0.008333333333333333
           (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))
   (-
    (log1p (pow t_0 3.0))
    (log1p
     (-
      (+
       (* (pow x 6.0) 0.002777777777777778)
       (* (pow x 4.0) 0.027777777777777776))
      t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 6.0), 0.0001984126984126984, fma(pow(x, 4.0), 0.008333333333333333, (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))));
	return log1p(pow(t_0, 3.0)) - log1p((((pow(x, 6.0) * 0.002777777777777778) + (pow(x, 4.0) * 0.027777777777777776)) - t_0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 6.0), 0.0001984126984126984, fma((x ^ 4.0), 0.008333333333333333, Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
	return Float64(log1p((t_0 ^ 3.0)) - log1p(Float64(Float64(Float64((x ^ 6.0) * 0.002777777777777778) + Float64((x ^ 4.0) * 0.027777777777777776)) - t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Log[1 + N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[1 + N[(N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 49.3%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 49.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{{1}^{3} + {\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)} \]

   2. log-div 49.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({1}^{3} + {\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}^{3}\right) - \log \left(1 \cdot 1 + \left(\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + 0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}\right)} - \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \]

6. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({\left(\mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}^{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(\left({x}^{6} \cdot 0.002777777777777778 + {x}^{4} \cdot 0.027777777777777776\right) - \mathsf{fma}\left({x}^{6}, 0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \]

Alternative 4: 96.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (fma 0.16666666666666666 (pow x 2.0) (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194))
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194)) + (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194)) + Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. +-commutative 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   3. fma-def 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

4. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   2. +-commutative 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

6. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

7. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, {x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

Alternative 5: 96.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + {x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
  (+
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
   (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + (pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + ((0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + ((x ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + (Math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + (math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + ((0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + ((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + {x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194\right) \]

Alternative 6: 97.2% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.1:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 1.1)
   (+
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
    (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556))
   (- (log (/ x (sinh x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.1) {
		tmp = (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
	} else {
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x) / x) <= 1.1d0) then
        tmp = (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0))
    else
        tmp = -log((x / sinh(x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x) / x) <= 1.1) {
		tmp = (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556);
	} else {
		tmp = -Math.log((x / Math.sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x) / x) <= 1.1:
		tmp = (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556)
	else:
		tmp = -math.log((x / math.sinh(x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 1.1)
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x / sinh(x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.1)
		tmp = (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556);
	else
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 1.1], N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x / N[Sinh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.1000000000000001

   1. Initial program 50.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.1000000000000001 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 46.7%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. clear-num 46.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 46.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 46.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.1:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 97.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.00000005:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00000005) (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)) (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00000005) {
		tmp = 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00000005d0) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00000005) {
		tmp = 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00000005:
		tmp = 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00000005)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00000005)
		tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00000005], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000004999999992

   1. Initial program 50.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.00000004999999992 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 53.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00000005:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8: 96.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 95.2%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 9: 50.3% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 47.0%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]

3. Final simplification 47.0%

   \[\leadsto 0 \]

Developer target: 97.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023322 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))