UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 24.7s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, t_1 \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin t_0, t_1 \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))) (+ ux -1.0))))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* t_1 xi)
    (fma (sin t_0) (* t_1 yi) (* (- 1.0 ux) (* (* ux maxCos) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f))));
	return fmaf(cosf(t_0), (t_1 * xi), fmaf(sinf(t_0), (t_1 * yi), ((1.0f - ux) * ((ux * maxCos) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))
	return fma(cos(t_0), Float32(t_1 * xi), fma(sin(t_0), Float32(t_1 * yi), Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * maxCos) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))
        (t_1 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* ux maxCos) (+ ux -1.0)))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * (ux * maxCos);
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_2 = sqrtf((1.0f + (t_0 * ((ux * maxCos) * (ux + -1.0f)))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(zi * t_0))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot zi} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\right)\right) + zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_2 \cdot t_1\right) + yi \cdot \left(t_1 \cdot \sin t_2\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+ (* xi (* (cos t_2) t_1)) (* yi (* t_1 (sin t_2))))
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_2) * t_1)) + (yi * (t_1 * sinf(t_2)))) + (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_2) * t_1)) + Float32(yi * Float32(t_1 * sin(t_2)))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_2) * t_1)) + (yi * (t_1 * sin(t_2)))) + (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))) (+ ux -1.0))))
   xi)
  (+ (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))) (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f)))) * xi), ((maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) * xi), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

5. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - t_0 \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos t_1 \cdot xi + \sin t_1 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* maxCos (+ ux -1.0))) (t_1 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    (* (- 1.0 ux) maxCos)
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (- 1.0 (* t_0 (* t_0 (* ux ux)))))
     (+ (* (cos t_1) xi) (* (sin t_1) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos * (ux + -1.0f);
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(((1.0f - ux) * maxCos), (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (t_0 * (t_0 * (ux * ux))))) * ((cosf(t_1) * xi) + (sinf(t_1) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * Float32(t_0 * Float32(ux * ux))))) * Float32(Float32(cos(t_1) * xi) + Float32(sin(t_1) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 6: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 - t_1 \cdot t_1}\right) + yi \cdot \sin t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))) (t_1 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
    (+ (* xi (* (cos t_0) (sqrt (- 1.0 (* t_1 t_1))))) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	float t_1 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f - (t_1 * t_1))))) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	t_1 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_1 * t_1))))) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	t_1 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) - (t_1 * t_1))))) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 95.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]

Alternative 7: 96.0% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+ (* xi (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))) (* yi (sin t_1)))
    (* (* ux maxCos) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (yi * sinf(t_1))) + ((ux * maxCos) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(Float32(ux * maxCos) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (yi * sin(t_1))) + ((ux * maxCos) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos} \]

   2. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   3. associate-*r* 95.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \]

   4. *-commutative 95.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \]

4. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \]

5. Taylor expanded in ux around 0 95.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 95.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

7. Simplified 95.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

8. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

Alternative 8: 87.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* (* ux maxCos) zi)
    (+
     (* xi (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))))
     (* (* uy 2.0) (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	return ((ux * maxCos) * zi) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	return Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	tmp = ((ux * maxCos) * zi) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos} \]

   2. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   3. associate-*r* 95.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \]

   4. *-commutative 95.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \]

4. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \]

5. Taylor expanded in ux around 0 95.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 95.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

7. Simplified 95.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 87.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 87.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

   2. *-commutative 87.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

10. Simplified 87.5%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

11. Final simplification 87.5%

    \[\leadsto \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 9: 87.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + \pi \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* (* ux maxCos) zi)
    (+
     (* xi (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))))
     (* PI (* yi (* uy 2.0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	return ((ux * maxCos) * zi) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (((float) M_PI) * (yi * (uy * 2.0f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	return Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(Float32(pi) * Float32(yi * Float32(uy * Float32(2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	tmp = ((ux * maxCos) * zi) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (single(pi) * (yi * (uy * single(2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 95.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos} \]

   2. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   3. associate-*r* 95.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \]

   4. *-commutative 95.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \]

4. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \]

5. Taylor expanded in ux around 0 95.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 95.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

7. Simplified 95.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 87.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 87.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

   2. *-commutative 87.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

   3. associate-*r* 87.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

   4. *-commutative 87.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot yi\right) \cdot \pi\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

10. Simplified 87.6%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) \]

11. Final simplification 87.6%

    \[\leadsto \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + \pi \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]

Alternative 10: 57.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))) (+ ux -1.0))))
   xi)
  (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f)))) * xi), (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) * xi), Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in ux around 0 95.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

   2. *-commutative 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos}\right) \]

   3. *-commutative 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} \cdot maxCos\right) \]

   4. associate-*r* 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \]

   5. fma-def 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}, zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 95.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right), zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 95.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in yi around 0 57.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

8. Final simplification 57.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023321 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))