ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.3% → 99.6%

Time: 19.7s

Alternatives: 8

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* x (sqrt (* (pow x 2.0) 0.027777777777777776)))))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (x * sqrt((pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776)))));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (x * sqrt(((x ** 2.0d0) * 0.027777777777777776d0)))))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (x * Math.sqrt((Math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776)))));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (x * math.sqrt((math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776)))))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(x * sqrt(Float64((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776))))))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (x * sqrt(((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776)))));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[Sqrt[N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right)\right) \]

   2. sqrt-unprod 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. *-commutative 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   5. swap-sqr 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   6. pow-sqr 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   7. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   8. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 73.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}}\right)\right) \]

   2. sqrt-prod 73.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{4}}}\right)\right) \]

   3. metadata-eval 73.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{4}}\right)\right) \]

   4. sqrt-pow1 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}}\right)\right) \]

   5. metadata-eval 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   6. unpow2 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

   7. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 48.2%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot x}\right)} \cdot x\right)\right) \]

   2. sqrt-unprod 75.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}} \cdot x\right)\right) \]

   3. *-commutative 75.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \]

   4. *-commutative 75.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot x\right)\right) \]

   5. swap-sqr 75.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \cdot x\right)\right) \]

   6. unpow2 75.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)\right) \]

   7. metadata-eval 75.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{{x}^{2} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \cdot x\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 75.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot x\right)\right) \]

9. Final simplification 75.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}\right)\right) \]

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* x (* x 0.16666666666666666))))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right)\right) \]

   2. sqrt-unprod 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. *-commutative 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   5. swap-sqr 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   6. pow-sqr 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   7. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   8. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 73.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 73.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}}\right)\right) \]

   2. sqrt-prod 73.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{4}}}\right)\right) \]

   3. metadata-eval 73.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{4}}\right)\right) \]

   4. sqrt-pow1 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}}\right)\right) \]

   5. metadata-eval 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   6. unpow2 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

   7. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 4: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (* x (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (sqrt 0.16666666666666666))))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666))));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * sqrt(0.16666666666666666d0))))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666))));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * math.sqrt(0.16666666666666666))))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (x * sqrt(0.16666666666666666))));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 48.0%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x} \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) \]

Alternative 5: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. pow2 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. sqrt-prod 48.0%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   7. add-sqr-sqrt 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. swap-sqr 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   3. rem-square-sqrt 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]

   4. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   5. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

   6. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 6: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 7: 53.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ 1 - \cos x \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - cos(x)
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cos(x);
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return 1.0 - math.cos(x)

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - cos(x);
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub 53.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} - \frac{\sin x}{\tan x}} \]

   2. div-inv 46.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\tan x}} - \frac{\sin x}{\tan x} \]

   3. tan-quot 46.6%

      \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\tan x} - \frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\cos x}}} \]

   4. associate-/r/ 46.6%

      \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\tan x} - \color{blue}{\frac{\sin x}{\sin x} \cdot \cos x} \]

   5. prod-diff 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

3. Applied egg-rr 4.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

   2. fma-udef 46.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{\tan x} + \left(-\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)\right)} \]

   3. associate-+r+ 46.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + x \cdot \frac{1}{\tan x}\right) + \left(-\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} - \cos x} \]

6. Taylor expanded in x around 0 52.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} - \cos x \]

7. Final simplification 52.4%

   \[\leadsto 1 - \cos x \]

Alternative 8: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ 1 \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return 1.0

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 1 \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023320 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))