Octave 3.8, oct_fill_randg

Percentage Accurate: 99.7% → 99.7%

Time: 9.2s

Alternatives: 11

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{a + -0.3333333333333333}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}{rand}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  (+ a -0.3333333333333333)
  (/ (+ a -0.3333333333333333) (/ (sqrt (fma a 9.0 -3.0)) rand))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) + ((a + -0.3333333333333333) / (sqrt(fma(a, 9.0, -3.0)) / rand));
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) + Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) / Float64(sqrt(fma(a, 9.0, -3.0)) / rand)))
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[N[(a * 9.0 + -3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]

   2. *-un-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

   3. associate-+l+ 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   4. *-commutative 99.9%

      \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}}\right) \]

   5. associate-*r/ 87.1%

      \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}}\right) \]

   6. *-commutative 87.1%

      \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + -3}}\right) \]

   7. fma-def 87.1%

      \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}\right) \]

5. Applied egg-rr 87.1%

   \[\leadsto \color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 87.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \]

   2. associate-/l* 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{a + -0.3333333333333333}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}{rand}}} \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{a + -0.3333333333333333}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}{rand}}} \]

8. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{a + -0.3333333333333333}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}{rand}} \]

Alternative 2: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + rand \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (+ a -0.3333333333333333)
  (+ 1.0 (* rand (/ 1.0 (sqrt (* (+ a -0.3333333333333333) 9.0)))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand * (1.0 / sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 9.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) * (1.0d0 + (rand * (1.0d0 / sqrt(((a + (-0.3333333333333333d0)) * 9.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand * (1.0 / Math.sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 9.0)))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand * (1.0 / math.sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 9.0)))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(rand * Float64(1.0 / sqrt(Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * 9.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand * (1.0 / sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 9.0)))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(rand * N[(1.0 / N[Sqrt[N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * 9.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + rand \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right) \]

Alternative 3: 99.7% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{-3 + a \cdot 9}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (* (+ a -0.3333333333333333) (+ 1.0 (/ rand (sqrt (+ -3.0 (* a 9.0)))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((-3.0 + (a * 9.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) * (1.0d0 + (rand / sqrt(((-3.0d0) + (a * 9.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / Math.sqrt((-3.0 + (a * 9.0)))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / math.sqrt((-3.0 + (a * 9.0)))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(rand / sqrt(Float64(-3.0 + Float64(a * 9.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((-3.0 + (a * 9.0)))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(rand / N[Sqrt[N[(-3.0 + N[(a * 9.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{-3 + a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 4: 92.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.8 \cdot 10^{+102} \lor \neg \left(rand \leq 5.2 \cdot 10^{+95}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (or (<= rand -1.8e+102) (not (<= rand 5.2e+95)))
   (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333))))
   (- a 0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -1.8e+102) || !(rand <= 5.2e+95)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if ((rand <= (-1.8d+102)) .or. (.not. (rand <= 5.2d+95))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0)))
    else
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -1.8e+102) || !(rand <= 5.2e+95)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if (rand <= -1.8e+102) or not (rand <= 5.2e+95):
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if ((rand <= -1.8e+102) || !(rand <= 5.2e+95))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if ((rand <= -1.8e+102) || ~((rand <= 5.2e+95)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	else
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[Or[LessEqual[rand, -1.8e+102], N[Not[LessEqual[rand, 5.2e+95]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -1.8000000000000001e102 or 5.19999999999999981e95 < rand

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      11. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      12. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - 0.3333333333333333} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 73.8%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. *-commutative 73.8%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 73.8%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right) - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 73.8%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333\right) \]

      5. *-commutative 73.8%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \color{blue}{\left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

      6. fma-neg 73.8%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]

      7. sub-neg 73.8%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      8. metadata-eval 73.8%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      9. metadata-eval 73.8%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      10. distribute-lft-in 73.8%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      11. associate-/r* 73.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      12. metadata-eval 73.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      13. *-commutative 73.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, \color{blue}{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}, -0.3333333333333333\right) \]

      14. metadata-eval 73.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   6. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)} \]

   7. Taylor expanded in rand around inf 99.6%

      \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around inf 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

   if -1.8000000000000001e102 < rand < 5.19999999999999981e95

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      11. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      12. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 93.3%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.8 \cdot 10^{+102} \lor \neg \left(rand \leq 5.2 \cdot 10^{+95}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 5: 92.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.75 \cdot 10^{+100}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 2.7 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (<= rand -1.75e+100)
   (* rand (sqrt (* (+ a -0.3333333333333333) 0.1111111111111111)))
   (if (<= rand 2.7e+95)
     (- a 0.3333333333333333)
     (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (rand <= -1.75e+100) {
		tmp = rand * sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111));
	} else if (rand <= 2.7e+95) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if (rand <= (-1.75d+100)) then
        tmp = rand * sqrt(((a + (-0.3333333333333333d0)) * 0.1111111111111111d0))
    else if (rand <= 2.7d+95) then
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (rand <= -1.75e+100) {
		tmp = rand * Math.sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111));
	} else if (rand <= 2.7e+95) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if rand <= -1.75e+100:
		tmp = rand * math.sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111))
	elif rand <= 2.7e+95:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if (rand <= -1.75e+100)
		tmp = Float64(rand * sqrt(Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111)));
	elseif (rand <= 2.7e+95)
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if (rand <= -1.75e+100)
		tmp = rand * sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111));
	elseif (rand <= 2.7e+95)
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	else
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[LessEqual[rand, -1.75e+100], N[(rand * N[Sqrt[N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[rand, 2.7e+95], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if rand < -1.74999999999999988e100

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      11. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      12. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - 0.3333333333333333} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 81.3%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. *-commutative 81.3%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 81.3%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right) - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 81.3%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333\right) \]

      5. *-commutative 81.3%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \color{blue}{\left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

      6. fma-neg 81.3%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]

      7. sub-neg 81.3%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      8. metadata-eval 81.3%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      9. metadata-eval 81.3%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      10. distribute-lft-in 81.3%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      11. associate-/r* 81.2%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      12. metadata-eval 81.2%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      13. *-commutative 81.2%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, \color{blue}{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}, -0.3333333333333333\right) \]

      14. metadata-eval 81.2%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   6. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)} \]

   7. Taylor expanded in rand around inf 99.6%

      \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around inf 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

      2. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      4. associate-*r* 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{rand \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)} \]

      6. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right) \]

   10. Simplified 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 99.2%

          \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)} \]

       2. sqrt-unprod 99.5%

          \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}} \]

       3. swap-sqr 99.6%

          \[\leadsto rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}} \]

       4. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto rand \cdot \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} \]

       5. add-sqr-sqrt 99.8%

          \[\leadsto rand \cdot \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right)}} \]

       6. +-commutative 99.8%

          \[\leadsto rand \cdot \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)}} \]

   12. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 99.8%

          \[\leadsto rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

       2. +-commutative 99.8%

          \[\leadsto rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right)} \cdot 0.1111111111111111} \]

   14. Simplified 99.8%

       \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

   if -1.74999999999999988e100 < rand < 2.7e95

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      11. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      12. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 93.3%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 2.7e95 < rand

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.8%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.8%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      11. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      12. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - 0.3333333333333333} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 68.8%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. *-commutative 68.8%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 68.8%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right) - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 68.8%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333\right) \]

      5. *-commutative 68.8%

         \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \color{blue}{\left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

      6. fma-neg 68.8%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]

      7. sub-neg 68.8%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      8. metadata-eval 68.8%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      9. metadata-eval 68.8%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      10. distribute-lft-in 68.8%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      11. associate-/r* 68.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      12. metadata-eval 68.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

      13. *-commutative 68.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, \color{blue}{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}, -0.3333333333333333\right) \]

      14. metadata-eval 68.7%

          \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   6. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)} \]

   7. Taylor expanded in rand around inf 99.7%

      \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around inf 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.75 \cdot 10^{+100}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 2.7 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 98.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (* (+ a -0.3333333333333333) (+ 1.0 (/ rand (sqrt (* a 9.0))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((a * 9.0))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) * (1.0d0 + (rand / sqrt((a * 9.0d0))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / Math.sqrt((a * 9.0))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / math.sqrt((a * 9.0))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(rand / sqrt(Float64(a * 9.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((a * 9.0))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(rand / N[Sqrt[N[(a * 9.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

4. Taylor expanded in a around inf 99.0%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a}}} \cdot rand\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

6. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   2. *-un-lft-identity 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

   3. add-sqr-sqrt 98.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}} \cdot \sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}}\right) \]

   4. associate-/r* 98.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}}\right) \]

   5. pow1/2 98.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.5}}}}}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   6. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{{\color{blue}{\left(9 \cdot a\right)}}^{0.5}}}}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   7. sqrt-pow1 98.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\color{blue}{{\left(9 \cdot a\right)}^{\left(\frac{0.5}{2}\right)}}}}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   8. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\color{blue}{\left(a \cdot 9\right)}}^{\left(\frac{0.5}{2}\right)}}}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   9. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{\color{blue}{0.25}}}}{\sqrt{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   10. pow1/2 98.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}{\sqrt{\color{blue}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.5}}}}\right) \]

   11. *-commutative 98.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}{\sqrt{{\color{blue}{\left(9 \cdot a\right)}}^{0.5}}}\right) \]

   12. sqrt-pow1 98.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}{\color{blue}{{\left(9 \cdot a\right)}^{\left(\frac{0.5}{2}\right)}}}\right) \]

   13. *-commutative 98.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}{{\color{blue}{\left(a \cdot 9\right)}}^{\left(\frac{0.5}{2}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 98.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}{{\left(a \cdot 9\right)}^{\color{blue}{0.25}}}\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ 98.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.25} \cdot {\left(a \cdot 9\right)}^{0.25}}}\right) \]

   2. pow-sqr 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{{\left(a \cdot 9\right)}^{\left(2 \cdot 0.25\right)}}}\right) \]

   3. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{{\left(a \cdot 9\right)}^{\color{blue}{0.5}}}\right) \]

   4. unpow1/2 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

10. Simplified 99.0%

    \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

11. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 7: 99.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (-
   (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333))))
   0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	return a + ((0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)))) - 0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a + ((0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0)))) - 0.3333333333333333d0)
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a + ((0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))) - 0.3333333333333333);
}

Python

def code(a, rand):
	return a + ((0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))) - 0.3333333333333333)

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333)))) - 0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a + ((0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)))) - 0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in rand around 0 87.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - 0.3333333333333333} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ 87.1%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} - 0.3333333333333333\right)} \]

   2. *-commutative 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

   3. sub-neg 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right) - 0.3333333333333333\right) \]

   4. metadata-eval 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333\right) \]

   5. *-commutative 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \color{blue}{\left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

   6. fma-neg 87.1%

      \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]

   7. sub-neg 87.1%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   8. metadata-eval 87.1%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   9. metadata-eval 87.1%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   10. distribute-lft-in 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   11. associate-/r* 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   12. metadata-eval 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   13. *-commutative 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, \color{blue}{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}, -0.3333333333333333\right) \]

   14. metadata-eval 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

6. Simplified 87.1%

   \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)} \]

7. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

8. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right) \]

Alternative 8: 98.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+ a (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a + (0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a + (0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333))));
}

Python

def code(a, rand):
	return a + (0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a + Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in rand around 0 87.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - 0.3333333333333333} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ 87.1%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} - 0.3333333333333333\right)} \]

   2. *-commutative 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

   3. sub-neg 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right) - 0.3333333333333333\right) \]

   4. metadata-eval 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \left(rand \cdot \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333\right) \]

   5. *-commutative 87.1%

      \[\leadsto a + \left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}} \cdot \color{blue}{\left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

   6. fma-neg 87.1%

      \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]

   7. sub-neg 87.1%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   8. metadata-eval 87.1%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   9. metadata-eval 87.1%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   10. distribute-lft-in 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   11. associate-/r* 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   12. metadata-eval 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}}, \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

   13. *-commutative 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, \color{blue}{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}, -0.3333333333333333\right) \]

   14. metadata-eval 87.1%

       \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

6. Simplified 87.1%

   \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}, rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)} \]

7. Taylor expanded in rand around inf 98.6%

   \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \]

Alternative 9: 62.8% accurate, 39.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 (- a 0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return a - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in rand around 0 63.9%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

5. Final simplification 63.9%

   \[\leadsto a - 0.3333333333333333 \]

Alternative 10: 1.5% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 -0.3333333333333333)

C

double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = -0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return -0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return -0.3333333333333333
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = -0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := -0.3333333333333333

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in rand around 0 63.9%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

5. Taylor expanded in a around 0 1.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333} \]

6. Final simplification 1.5%

   \[\leadsto -0.3333333333333333 \]

Alternative 11: 61.8% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 a)

C

double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Python

def code(a, rand):
	return a

Julia

function code(a, rand)
	return a
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := a

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in a around inf 62.8%

   \[\leadsto \color{blue}{a} \]

5. Final simplification 62.8%

   \[\leadsto a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023318 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))